Таблицы Брадиса

^ + ^ + ... +_ і__ = і_І + І_І + ... + ^   У

^ + ^ + ... +_ і__ = і_І + І_І + ... + ^   У

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 0, 1, 2, 3, 4; в) 0, 1, 2, 3, 2?

Решение. а) Существует: например, 59. Здесь удобно воспользоваться китайской теоремой об остатках (см. листок «Целые числа 3», задача 12).

б)  Существует: например, 58.

в) Не существует. Так как число, которое при делении на 6 дает в остатке 2, имеет вид 6к + 2 для некоторого целого к. Но отсюда видно, что это число при делении на три должно давать остатке 2, а не 1.

Задача 5. Вычислите НОД чисел:

а) 923 и 1207; б) 279 и —589; в) —693 и 2475; г) —697 и —1377; д) 1517 и 1591; е) 1134, 2268 и 1575.

Ответ. а) 71; б) 31; в) 99; г) 17; д) 37; е) 63.

Задача 6. Вычислите НОК чисел:

а) 16 и 84; б) 819 и 504; в) 30, 56 и 72;

г) 340, 990 и 46; д) 41, 85 и 36; е) 2, 5, 7,9 и 11.

Ответ. а) 336; б) 6552; в) 2520; г) 774189; д) 125460; е) 6930.

196                    Целые числа 4. Практические задачи

Задача 7. Для п > 0 найдите значения следующих выражений:

а) 1 ■ 2 + 2 ■ 3 + . . . + (п — 1) ■ п;

б) — + — + ...+

4 ■ 5 5 ■ б      (п + 3)(п + 4)’

в*) 1 ■ 2 ■ 3 + 2 ■ 3 ■ 4 + . . .+ п ■ (п + 1) ■ (п + 2).

Указание. а) Представим выражение в следующем виде:

1 ■ 2 + 2 ■ 3 + . . .+ (п — 1) ■ п = (2 — 1) ■ 2 + (3 — 1) ■ 3 + . . .+ (п — 1) ■ п =

= (22 + 32 + ... + п2) — (2 + ... + п).

Теперь можно воспользоваться выражением для суммы подряд иду­щих натуральных чисел и суммы квадратов подряд идущих натураль­ных чисел (см. листок «Метод математической индукции»).

б) Следует представить выражение в таком виде:

^ + ^ + ... +_ і__ = і_І + І_І + ... + ^   У

4-5 5-6                    (п + 3)(п + 4) 4 5 5 6                                 п + 3 п+ 4

Задача 8. Докажите тождества:

а) (п + 1) ■ (п + 2) ■. .. ■ (п + п) = 2п ■ 1 ■ 3 ■ 5 ■. .. ■ (2п — 1);

б) 1-- + --... + ^— — + ... + -;

2 3             2п — 1 2п п +1 п + 2            2п