Таблицы Брадиса

”‘=6Й::5В)                                                                             Ф­

”‘=6Й::5В)                                                                             Ф­

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

в) Заметим, что ответ и решение в этой задаче целиком совпада­ют с ответом и решением предыдущего пункта, так как для любой транспозиции Ь верно Ь = Ь—1.

Задача 10* (замена переменных). Пусть даны подстановки а, с е е Бп, и пусть Ь = с-1 ас.

а)     Докажите, что если подстановка а задана таблицей а = ^г.1"' 1.п ),

”‘=6Й::5В)-                                                                             -Ф­

б) Докажите, что если подстановка а задана в виде произведения независимых циклов а = (^ .. . 1к) • Ц1 . .';) •.. . , то Ь = (с(11).. . с(1к)) •

• (сО'1) .. -сОг)) •...

Ш См. комментарий к задаче 8 листка «Отношения эквивалентно­сти».

Решение. См. задачу 8 листка «Отношения эквивалентности».

Задача 11. Дайте определение степени подстановки ак для любого целого к.

Решение. Естественно, в этой задаче требуется дать не произвольное определение, а соответствующее нашим интуитивным представле­ниям об определяемом объекте. Например, желательно, чтобы вы­полнялись равенства из следующей задачи, аналогичные свойствам степеней чисел.

Приведем такое определение:

1) ак :=а • а •... • а, где к — натуральное число, большее единицы;

к

2)  а1:=а;

150                                    Подстановки 2

3)  а0 := е;

4)  а-1 —подстановка, обратная к а;

5)  а- := (ак)-1, к — натуральное, к > 2.

Более формально это определение можно давать по индукции: а0 :=е, ак+1 :=ака при к ^ 0, а-к —подстановка, обратная к ак, при к > 0.

Ш а-к в последнем пункте можно было бы определить и так: а-к := := (а-1)к. При этом получается (проверьте) эквивалентное определе­ние.

Задача 12. Докажите, что для любых а, Ь е Бп и любых целых к и I вы­полняется следующее: а) а0 = е; а1 = а; ак+1 = ака1; аи = (ак)1; б) если аЬ = Ьа, то (аЬ)к = акЬк.