Таблицы Брадиса

§: У ^ X, что §/ = ЫX, /§ = IdУ, где Ым: М ^ М, т ^ т — тождественное отоб­ражение.

§: У ^ X, что §/ = ЫX, /§ = IdУ, где Ым: М ^ М, т ^ т — тождественное отоб­ражение.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

1) / — биекция;

2)  / сюръективно и инъективно;

3)  / обратимо, то есть существует такое отображение16 §: У ^ X, что §/ = ЫX, /§ = IdУ, где Ым: М ^ М, т ^ т — тождественное отоб­ражение.

& Нередко самый простой способ убедиться в биективности какого- либо отображения — построить к нему обратное.

Решение. Докажем сначала, что первые два свойства эквивалентны. Действительно, биективность означает, что у каждого элемента из У ровно один прообраз, а инъективность и сюръективность — что этих прообразов, соответственно, не больше и не меньше одного.

Докажем теперь, что биективное отображение обратимо. Опре­делим отображение § следующим образом. Пусть у е У. Так как отображение / биективно /-1(у) состоит из одного элемента — х е X. Положим §(у) = х. По построению $ и /§ — тождественные отобра­жения.

Наконец, докажем, что обратимое отображение биективно. Пусть у еУ. Тогда у у обязательно есть прообраз — элемент §(у). Кроме того, у у не может быть другого прообраза х, так как х = М(х) = = §(/ (х)) = §(у).

6Говорят, что § — обратное к / и пишут § = /

-о-

Задача 11. Про каждые два из следующих множеств выясните, суще­ствует ли между ними биекция:

а) множество натуральных чисел;

б) множество четных натуральных чисел;

в) множество натуральных чисел без числа 3;

г) множество целых чисел.

& В этой задаче впервые возникает удивительная ситуация, когда множество равномощно собственному подмножеству. Такое возмож­но только для бесконечных множеств.

Указание. Следует сначала построить биекцию между натуральными числами и натуральными числами без числа 3, а потом оптимально решать задачу, пользуясь задачей 9.