Таблицы Брадиса

2           5

2           5

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 3. Для отображения /: {0,1,3,4} ^ {2,5,7,18}, заданно­го картинкой, найдите /[{0,3}], /[{1,3,4}], /-1(2), /-1[{2, 5}], /-1[{5,18}].

а)  0 2 б) 0 2 в) 0 2 15                    15  15

         

Ответ. а) /[{0, 3}] = {5,18}, так как 0 отображается в 18, а 3 — в 5;

/ [{1, 3, 4}] ={5, 7}, так как 1 отображается в 7, 3 отображается в 5,

4  тоже отображается в 5;

Теория множеств 2. Отображения множеств                       83

/-1 (2) = 0, так как в 2 ничего не отображается;

/-1[{2, 5}] = {3,4}, так как в 2 ничего не отображается, а в 5 отображаются элементы 3 и 4;

/-1[{5,18}] = {0, 3, 4}, так как в 18 отображается 0, а в 5 отобра­жаются 3 и 4.

б)  /[{0,3}] = {5,18}, /[{1,3,4}] = {2,5,7}, /-1(2) = {1},

/-1[{2, 5}] = {1, 3}, /-1[{5,18}] = {0, 3}.

в) /[{0,3}] = {2,7}, /[{1,3,4}] = {2,7}, /-1(2) = {0,4},

/-1[{2,5}] = {0,4}, /-1[{5,18}] = 0.

Задача 4. Пусть /: X ^ 7, А1; А2 с X, В1; В2 с 7. Всегда ли верно, что

а) /[X] = 7; б) /-1 [7] = X; в) / А и А2] = /[А1] и/[А2];

г) / [А1 П А2 ] = / [А1 ] П / [А2 ]; д) /-1 [В1 и В2 ] = /-1 [В1 ] и /-1 [В2 ];

е) /-1 [В1 П В2 ] = /-1 [В1 ] П /-1 [В2 ]; ж) / [А1 ] с / [А2 ] ^ А1 с А2;

з) /-1[В1] с /-1[В2] ^В1 с В2?

Решение. а) Нет. Например, при отображении из пункта а) предыду­щей задачи это не так.

б)  Да. /-1[7 ] = {xеX | / (х) е7}. Так как / (х) е7 для любого xеX, то {xеX | / (х) е7} = X.

в)  Да. / А и А2] = {у е7 | Зх е А-1 и А2: / (х) = у} = {у е7 | 3 х такой, что хеА1 или хеА2 и /(х) = у} = {у еУ | Зхе А1: /(х) = у} и

Ф                 и{уеУ|ЗхеА2:/(х)=у} = /[А1]и/[А2].                                                     ф

г)  Нет. Вот пример: X У Аг = {1, 2}; А2 = {2, 3}.

2           5

д)  Верно. Докажем сначала, что /-1[ВХ и В2] с /-1(ВХ) и /-1(В2). Действительно, для любого хе/-1[ВХ иВ2] верно, что /(х) еВх или /(х) еВ2, то есть хе/-1[В1] или хе/-1[В2].