Таблицы Брадиса

84               Теория множеств 2. Отображения множеств

84               Теория множеств 2. Отображения множеств

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Теперь докажем, что /-1(В1) и /-1(В2) с /-1[В1 и В2]. Действи­

тельно, для любого хе/-1(В1) и /-1(В2) верно, что / (х) еВ1 или /(х) еВ2, то есть /(х) еВ1 иВ2, что и означает, что хе/-1[В1 иВ2].

е)  В этом пункте ответ такой же: верно. Для проверки этого факта надо доказать (по определению равенства множеств из листка 1), что любой элемент, содержащийся в правом множестве, содержится также и в левом, и наоборот.

ж)  Нет. Вот пример: X 7 А = {1}, В = {2}.

84               Теория множеств 2. Отображения множеств

з) Верно. В этом пункте также нужно сделать несложную проверку того, что Vу еВ1 будет также выполняться у еВ2.

Определение 3. Композицией отображений /: X ^ 7 и g: 7 ^ 2 на­зывается отображение, сопоставляющее элементу х множества X эле­мент g(/(х)) множества 2. Обозначение: g о /. (То есть композиция g о / состоит в последовательном применении отображений / и g.)

Ш Стоит подчеркнуть, что мы пишем g о /, но применяем сначала отображение / к элементу х, а потом к элементу /(х) применяем отображение g. В качестве мнемонического правила можно мыслен­но приписывать к g о / справа (х).

Задача 5. Докажите, что для произвольных отображений /: X ^ 7, g: 7 ^ 2 и И: 2 ^ W выполняется следующее: И о ^ о /) = (И о g) о / (то есть скобки в выражении И оg о/ можно не писать).

Ш Обе записи, по сути, означают последовательное применение всех трех отображений.

Решение. Возьмем произвольный х е X. Пусть /(х) = у, g(y) = 2, И(г) = w. (Вообще, множества часто обозначают большими буквами, а их элементы — соответствующими маленькими.) Тогда g о / пере­водит х в 2, И о g переводит у в w. Соответственно, оба отображения И о ^ о /) и (И о g) о / переводят х в w.

Ш Заметим, что в этой задаче требуется доказательство равенства отображений, хотя нигде не определялось, что это такое. Действи­тельно, что означает, что одно отображение «равно» другому? В этом месте следует навести школьника на мысль о том, что задача не вполне корректна, и попросить придумать разумное определение равенства отображений и решить задачу, пользуясь данным опреде­лением.