Таблицы Брадиса

§)(а) обозначается ga.

§)(а) обозначается ga.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 5. Пусть Н — нормальная подгруппа группы О. Груп­па, построенная в предыдущей задаче, называется факторгруппой (группы О по подгруппе Н). Обозначение: О/Н.

Задача 22. Докажите, что для любого гомоморфизма I: О — Н вы­полнено 1т I = О/Кег I (в частности, КегI — нормальная подгруп­па О).

Решение. Действительно, I задает корректно определенный (так как I(ак) = I(а)I(к) = I(а) для любых а е О, к е Кег I) сюръективный гомоморфизм из О/ Кег I в 1т I. Проверим, что он инъективен: I(х) = I(у) влечет ху—1 е Кег I, то есть Кег I ■ х = Кег I ■ у.

Ш Из этого рассуждения (и задачи 21) следует и нормальность ядра. Можно, впрочем, проверить это и непосредственно — см. решение задачи 13.

3.  ДЕЙствия

Определение 6. Гомоморфизм I группы О в группу преобразований множества А (т. е. биективных отображений множества А в себя) называется действием группы О на этом множестве. (Таким образом I ставит в соответствие каждому элементу g группы О некоторую биекцию множества А в себя.) Если понятно, о каком действии идет речь, элемент I(§)(а) обозначается ga.

-о-

Ш Альтернативное определение. Действием группы О на множе­стве X называется отображение О х X — X, ^, х) — gx, такое что ех = х и g(кx) = ^к)х. Нетрудно убедиться, что эти определения эквивалентны. (Это проявление эквивалентности Мар(Х х У, 7) и Мар( X, Мар (У, 7)).)

Ш Последним из определений удобно пользоваться при проверке того, является ли нечто действием группы. Первое же позволяет при­менить развитую технику работы с гомоморфизмами, например, для перечисления всех действий группы на данном множестве (см. задачу 25).

Задача 23. Какие из следующих отображений являются действиями группы на себе?