Таблицы Брадиса

А3 а также е и

А3 а также е и

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 17. Какие из подгрупп задачи 12 листка «Теория групп 1» нормальны?

Решение. По предыдущей задаче любая подгруппа коммутативной группы нормальна. Отсюда следуют решения пунктов а) и д).

Как было установлено при решении задачи 13, подгруппа из пунк­та в) не является нормальной.

Наконец, подгруппа из пункта б) нормальна, так как (см. решение задачи 13) является по задаче 15 ядром отображения sign : Sn ^ {±1}.

Задача 18. Докажите, что подгруппа Н группы О нормальна тогда и только тогда, когда разбиение группы О на левые смежные классы относительно группы Н совпадает с разбиением на правые смежные классы.

Решение. Пусть Н нормальна. Тогда аН = На для каждого а е О и разбиения на правые и левые классы относительно Н совпадают.

Пусть теперь, наоборот, разбиения на правые и левые классы относительно Н совпадают. Но для произвольного а е О классы аН и На пересекаются (по элементу ае = а = еа), а значит (так как по предположению это классы эквивалентности относительно одного и того же отношения эквивалентности), они совпадают. Ввиду произ­вольности выбора а заключаем, что Н нормальна.

Задача 19. Перечислите все нормальные подгруппы группы Б3.

Ответ. А3 (а также {е} и сама группа 53).

Решение. Предположим, что нормальная подгруппа содержит какую- либо транспозицию. Тогда в силу нормальности она содержит и все сопряженные ей элементы, то есть все транспозиции (см. коммента­рий перед задачей 16). Но произведения транспозиций порождают всю группу 5п. Таким образом, собственная (то есть не совпадаю­щая со всей группой) нормальная подгруппа не может содержать транспозиций, но тогда она либо совпадает с {е}, либо содержит цикл (а значит, и оба цикла, то есть совпадает с А3).