Таблицы Брадиса

База легко проверяется, докажем шаг.

База легко проверяется, докажем шаг.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Если не менее Сашиных друзей дружат с нечетным количеством

молчунов из M, то можно добавить их к M и получить «молчаливую»

N — к , к + 1 N +1

группу, состоящую как минимум из —---------- 1—— = —— учеников.

к +1                                  III

Если же менее —— Сашиных друзей дружат с нечетным количеством

молчунов из M, то можно добавить к M остальных Сашиных друзей и Сашу, и получить «молчаливую» группу, состоящую как минимум

N — к к + 1              N + 1

из ——І- І I +1 ^ учеников.

Задача 16* (Задача Сильвестра). На плоскости взяты несколько то­чек так, что на каждой прямой, соединяющей любые две из них, лежит по крайней мере еще одна точка. Докажите, что все точки лежат на одной прямой.

~Q~                    Я? У этой задачи имеется очевидно — но неверное! — решение по

индукции в духе рассуждения 7 в).

Решение. Предположим обратное. Проведем прямую через каждую пару отмеченных точек. Среди всех пар (точка нашего множества, проведенная прямая) выберем пару (X, а) с наименьшим ненулевым расстоянием между ними.

Н            А1                 Л2

 

Опустим из X на а перпендикуляр ХН. Так как на каждой про­веденной прямой лежат минимум три точки нашего множества, с какой-то стороны от Н на прямой а лежат хотя бы две точки мно­жества — Аг и А2 (Аг между Н и А2). Но расстояние от Аг до прямой ХА2 меньше отрезка ХН (оно меньше даже расстояния от Н до ХА2), что противоречит выбору X и а.

118                      Метод математической индукции

Задача 17*. Докажите, что пп+1 > (п + 1)п при п > 2.

Решение. База легко проверяется, докажем шаг. Пусть для п неравен­ство верно, а для п +1 нет, то есть