Таблицы Брадиса

Ближайшие к нему числа предыдущей

Ближайшие к нему числа предыдущей

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 1. Треугольником Паскаля называется треугольная таб­лица, составленная из чисел по следующему правилу: строка с номе­ром п состоит из п чисел, первое и последнее числа каждой строки равны единице, а каждое из остальных чисел равно сумме двух ближайших к нему чисел предыдущей строки. Число, стоящее на (к + 1)-м месте (п + 1)-й строки, обозначается ^ ^.

120                     Комбинаторика 2. Бином Ньютона

1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1

Ш Здесь полезно задать простые вопросы в стиле «Чему равно ^ 3),

(2)

Задача 1. Запишите в виде ^ числа предыдущей строки, ближай­шие к числу ( " ^.

Решение. Число ^П) стоит на (т + 1)-м месте (п + 1)-й строки. Бли­жайшие к нему числа предыдущей строки стояп на т-м и (т + 1)-м

(п-1Л (п-1Л

местах п-й строки, то есть имеют вид I т \ и I т I.

Ответ. П п 11 и П п 11.

V т ) Ут - и

Ш Таким образом, имеет место соотношений = ( Пт1) + ( П 1).

(3                                   Задача 2. Выпишите первые 11 строк треугольника Паскаля.                           —

Ответ.

5       1 61

1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1          10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Решение. Заметим, что в задаче фактически требуется доказать, что треугольник Паскаля симметричен. Так как первые две строки тре­угольника Паскаля симметричны и правило построения следующей

строки сохраняет симметрию, все остальные строки будут симмет­ричны.

Более формально. Докажем индукцией по п следующую последо­вательность утверждений Ап: «Для любого целого 0 ^ к ^ п выполнено

равенств°(^            =  ( п-к) »•

База индукции. При п = 1 надо доказать, что = (1), а это верно: оба числа равны 1.