Таблицы Брадиса

Более подробно вопрос перечисления объектов

Более подробно вопрос перечисления объектов

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 1. Какие из следующих таблиц являются записями подстано­вок: а) се; б) (-); в) 0; г) (2-); д) (333е; «Ю

Л Г4321Л Л Г5321Л Л Л327Л Л П23Л. ж) (д234^; з) 1532^; и) 1723и; к) иШ '

Ответ. а) Является.

б)  Является.

в)  Нет, так как множество {2} не имеет вид {1, 2,..., п}.

г)  Нет, так как данное отображение не отображает множество {1, 2, 3} в себя.

д)  Нет, так как данное отображение не отображает множество {1, 2, 3} в себя.

е) Является.

ж)  Является.

з)  Нет, так как множество {1,2, 3,5} не имеет вид {1,2,..., п}

(пропущено 4).

и)  Нет, так как множество {1,2, 3,7} не имеет вид {1,2,..., п}

(пропущены 4, 5 и 6).

„                              к) Нет, так как данное отображение не отображает множество                                 ^

{1,2,3} в себя.                                                                                                           “Ф“

Задача 2. Выпишите и изобразите графически все элементы мно­жеств 51; 52 и 53.

Решение. а) В 5Х имеется всего один элемент — подстановка (1).

б)  В 52 будет два элемента — подстановки (12) и (22) •

123 123 123

в) В 53 будет шесть элементов — подстановки ( 123 ), (, 132 ], (. 213 ]1 (123е (123е (123е

и3и , 132и , 13Ш .

Ш Если в задаче требуется перечислить биективные отображения (или же какие-либо другие объекты), то нужно найти такой способ перечисления, при котором ни один объект не будет пропущен или посчитан два раза. Более подробно вопрос перечисления объектов разобран в листке «Комбинаторика 1».

В последней задаче подстановки перечислялись следующим обра­зом: элемент 1 может перейти в один из п элементов, элемент 2 — в один из п — 1 элемента (один уже занят), элемент 3 — в один из

п — 2 элементов (два уже заняты), и так далее. Следовательно, число подстановок из п элементов равно п! = п ■ (п — 1) ■... ■ 2 ■ 1.