Таблицы Брадиса

Чтобы доказать, что подстановка 1

Чтобы доказать, что подстановка 1

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

С другой стороны, пустая клетка вернулась на свое место, значит, число ходов вправо равно числу ходов влево, а число ходов вверх равно числу ходов вниз, то есть общее число ходов четно. Полученное противоречие завершает доказательство.

Задача 7*. Докажите, что из любого расположения фишек можно, соблюдая правила игры, получить либо начальное расположение, либо расположение, описанное в предыдущей задаче.

Указание. Сначала поставьте на свои места фишки от 1 до 12. Фишку 13 можно поставить на свое место, сдвинув правильно поставленные фишки от 9 до 12 «змейкой» в правый нижний угол.

Определение 2. Подстановкой, обратной к подстановке а є Sn, на­зывается такая подстановка b є Sn, что ab = ba = e. Обозначение: a-1.

Задача 8. Докажите, что для любых двух подстановок а и b имеет место равенство (ab)-1 = b-1 a-1.

Решение. Чтобы доказать, что подстановка b-1 a-1 является обратной к подстановке ab нужно проверить, что abb-1 a-1 = e = b-1 a-1ab, что очевидно.

Задача 9. Найдите все a є Sn, такие что для любой подстановки b є Sn выполняются равенства: а) ba = b; б) ba = ab; в*) ba = ab-1.

Решение. а) Домножим обе части равенства Ьа = Ь на Ь—1 слева. По­лучим, что Ь—1Ьа = Ь—1Ь, то есть а = е.

б)   Пусть найдена искомая подстановка а = 1 2 п . Тогда

ч1112 '''^пУ

Г.12'''п1 (к т) = (к т) Г1 2' ''.п1 для любых к и т.

\1112 '' лпУ                 \1112''' 1пУ

Заметим, что если подстановка а записана канонически, то под­становка а(кт) получается из а, если просто поменять местами в нижней строке элементы 1к и 1т (докажите!); а подстановка (кт)а получается из а, если поменять местами в нижней строке элементы к и т (это тоже следует доказать!).

Таким образом, если а(кт) = (кт)а, то либо к = 1к и т = 1т, либо к = {т и т = 1к .А так как к и т мы можем выбрать произвольными, при п > 2 подстановка а может быть только тождественной. При п = 2 подходят обе подстановки.