Таблицы Брадиса

Для Ж это 2Ж, а

Для Ж это 2Ж, а

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Решение. а), б) Действие на одноэлементном множестве есть гомо­морфизм в группу из одного элемента. Он единственен.

Нетривиальное действие на двуэлементном множестве есть нетривиальный, а значит, сюръективный гомоморфизм в группу 52 = Ж/2Ж. Ядро такого отображения должно быть подгруппой индек­са 2. В циклической группе такая подгруппа (если она существует) единственна. Для Ж это 2Ж, а для Ж/пЖ — 2Ж/пЖ при четном п (а при нечетном п такой подгруппы не существует, так как индекс подгруппы является делителем порядка группы).

в)  Нас интересуют гомоморфизмы группы Ж/пЖ в 53. Каким мо­жет быть образ такого гомоморфизма? Нетрудно перечислить (см. задачу 19) все подгруппы 53: это 53, {е}, А3 и три изоморфные Ж/2Ж подгруппы, состоящие из е и одной транспозиции.

Если образ нашего гомоморфизма есть {е} или Ж/2Ж, то задача сводится к предыдущей. Так как гомоморфный образ коммутативной группы коммутативен, со всей группой 53 образ совпадать не может.

Осталось разобрать случай, в котором действие является сюръек- цией на А3 = Ж/3Ж. Аналогично предыдущему пункту получаем, что 3|п, а действие заключается в том, что элемент 1 действует цикличе­ской перестановкой.

г)  Нас интересуют гомоморфизмы из группы Ж/2Ж в группы Аш(Ж) и Аш(Ж/4Ж). Найдем последние: при автоморфизме образую­щая циклической группы должна перейти в образующую. Образу­ющие для Ж исчерпываются ±1, а Ж/пЖ — элементами, взаимно простыми с п, то есть для п = 4 снова ±1. Таким образом, Аш(Ж) = = Аш(Ж/4Ж) = Ж/2Ж (а нетривиальный элемент есть смена знака). Таким образом, Ж/2Ж может действовать на обсуждаемых группах либо тривиально, либо сменой знака.

д) Группа поворотов квадрата есть (убедитесь в этом) Ж/4Ж. Таким образом, нас интересуют гомоморфизмы из Ж/пЖ в Ж/4Ж. Каждый такой гомоморфизм полностью задается образом элемента 1, причем