Таблицы Брадиса

Доказательство основывается на том, что

Доказательство основывается на том, что

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 8. Какие из следующих групп изоморфны: Ж/2Ж, (Ж/3Ж)Х, Б2, Ж/6Ж, Б3, (Ж/7Ж)Х?

Указание. Два самых наивных способа различить неизоморфные груп­пы— это посмотреть на количества элементов в них и коммутатив­ность.

Ответ. Все перечисленные группы делятся на три класса: Б3, Ж/2Ж = = (Ж/3Ж)Х = Б2, (Ж/7Ж)х = Ж/6Ж.

ш Можно показать, что для любого простого р группа (Ж/рЖ)Х явля­ется циклической (а значит, изоморфна Ж/(р — 1)Ж). Доказательство основывается на том, что в противном случае существовало бы п < р,

236                         Теория групп 2. Гомоморфизмы

такое что хп—1 = 1 для любого х е (2/р2)х; однако это невозможно, так как 2/р2 — поле, а в поле уравнение степени п — 1 не может иметь более п — 1 корня.

Определение 2. Множество I (О) называется образом гомоморфиз­ма I: О — Н. Обозначение: 1т I.

Множество I—1(ен) называется ядром гомоморфизма I: О — Н. Обозначение: КегI.

Задача 9. Найдите ядра и образы всех гомоморфизмов задачи 2.

Ответ. а) Кег I = {е}, 1т I = О;

б)  Кег I = О, 1т I = {е};

в) Кег I = 0, 1т I = 22;

г), д) не гомоморфизмы;

е) Кег I = 0, 1т I = 2/р2;

ж)  Кег I = 0, 1т I = 2/р2х;

з) можно показать (см. комментарий к задаче 8), что (2/р2)х = = 2/(р — 1)2, откуда нетрудно извлечь ответ:

 

2/102, 10 | р — 1;

0, р = 2;                     1т = ■

2/22, 10 / р — 1;

10 | р — 1;

2/ р2, р = 2;

Ю/р — 1.                              Ж

 

и) не гомоморфизм (при а = е);

к) при п = 2 не гомоморфизм, при п = 2 Кег I = 0,1т I = Бп; л) КегI = 0, 1тI = Бп;

м) Кег I = Ап (четные подстановки), 1т I = 2/22.

Задача 10. Докажите, что 1т I и Кег I — подгруппы в Н и О соответ­ственно.

Решение. Если Н1, Н2 е 1т I, то Н1 = I^), Н2 = I^2) для некоторых gl, g2 е О; тогда = I(glg2) е 1т I. Если gl, g2 е Кег I, то I(gl) = е = = IЫ; тогда I(glg2) = I(gl)f Ш = 0, а значит, glg2 е КегI. Итак, Кег I и 1т I замкнуты относительно умножения.