Таблицы Брадиса

Доказательство того, что в остальных

Доказательство того, что в остальных

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

в), г) Как было доказано в листке «Подстановки 2», в группе Бп сопряжены в точности элементы, имеющие одинаковую циклическую структуру.

Группа А3 коммутативна, поэтому gkg—1 = к и класс сопряженно­сти каждого элемента состоит из него одного.

д) Ясно, что любые две сопряженные в Ап подстановки сопряжены в Бп, то есть имеют одинаковую циклическую структуру. Причем две имеющие одинаковую циклическую структуру четные подстановки

244                         Теория групп 2. Гомоморфизмы

сопряжены в An, если и только если сопрягающую их подстановку можно выбрать четной. Заметим, что при этом класс из Sn разбива­ется не более чем на два класса—действительно, если а и b и b и с сопряжены нечетными подстановками x и y, то а и с сопряжены четной подстановкой xy.

Отсюда видно, что для четной подстановки а возможны два вари­анта: либо существует коммутирующая с ней нечетная подстановка x — тогда класс сопряженности а относительно Sn совпадает с клас­сом сопряженности относительно An (действительно, если yay-1 = b и подстановка y нечетная, то (yx)a(yx)-1 = b, причем yx — подста­новка четная), либо такой подстановки не существует — тогда этот класс разбивается на два (рассмотрим b = yay-1, где y — нечетна; если все же существует четная подстановка z, такая что zaz-1 = b, то x = yz-1 — коммутирующая с а нечетная подстановка).

Осталось переформулировать эти случаи в терминах циклической структуры подстановки а. Пусть сначала подстановка а содержит цикл а четной длины. Тогда аа = аа, и реализуется первый слу­чай. Пусть теперь она содержит два цикла равной нечетной длины: (а1,. . . , ak) и (b1,. . . , bk). Тогда а коммутирует с (a1 b1) . . . (akbk), и опять реализуется первый случай. Доказательство того, что в остальных случаях подстановка не коммутирует ни с какой нечетной, остав­ляется читателю в качестве упражнения (следует использовать то, как действует сопряжение на подстановку, представленную в виде произведения независимых циклов).