Таблицы Брадиса

Доказательство того факта, что числа

Доказательство того факта, что числа

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

г) а = —20 + 39с, Ь = 19 — 37с;

д) а = —25 — 49с, Ь = 24 + 47с.

Задача 12. Определим последовательность чисел и(п) по правилу: и(0) = 0, и(1) = 1, и(п) = и(п — 1) + и(п — 2) (числа Фибоначчи).

а) Докажите, что и(1) + ... + и(п) = и(п + 2) — 1.

б) Докажите, что (и(1))2 + ... + (и(п))2 = и(п) ■ и(п +1).

в) (формула Бине) Как связаны числа и(п) и

Указание. Пункты а) и б) легко доказываются индукцией по п. До­казательство того факта, что числа и(п) и 5(п) равны, также можно провести индукцией по п (самое сложное, на наш взгляд, — догадать­ся, что эти числа равны; именно этим обусловлено такое странное условие задачи).

Теория групп

листок 12 / март 2005

Ш в этом листке впервые появляется понятие (абстрактной) группы. Отметим, что уже в этом листке рассматривается категория групп — практически сразу возникают понятия подгруппы и изоморфизма групп (впрочем, обсуждение произвольных гомоморфизмов отложе­но до следующего листка по теории групп). В частности, обсуждается задача классификации групп небольших порядков. Главным формаль­ным результатом листка является теорема Лагранжа.

Чтобы изложение не было слишком абстрактным, в начале листка мы просим школьников для большого числа уже изученных объектов установить, являются ли они на самом деле группами, а в конце листка теорема Лагранжа применяется к теории чисел.

Важно, что изучение свойств абстрактных групп происходит уже после рассмотрения их на конкретных примерах (группы подстановок и группы остатков по модулю) в предыдущих листках.

Соглашение. Все числа в этом листке предполагаются целыми, а число р — простым.

Определение 1. Бинарной операцией ■ на множестве М называется отображение из множества упорядоченных пар М2 = {(а, Ь) | а е М, Ь е М} в множество М, то есть способ поставить каждой паре эле­ментов множества М единственный элемент этого множества. Образ Ь пары (а, Ь) обозначается а ■ Ь.