Таблицы Брадиса

Докажем, что .

Докажем, что .

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 2. Дробной частью числа х называется число {х} = = х — [х].

1, если x > 0; 0, если x = 0; — 1, если x < 0.

Задача 2. а) Найдите [3,5], [-2,2], {1,1}, {-2,7}, [0], {0}, [5], {5}, sign(5,6), sign(-2,4), sign(0).

б)  Верно ли, что sign xy = sign x • sign y, [xy] = [x][y], {xy} = ={x}{y}?

в) Верно ли, что sign(x + y) = sign x + sign y, [x + y] = [x] + [y], {x + y} = {x } + {y}?

г)     Докажите, что x = |x| • signx, x = [x] + {x}.

Решение. а) [3,5] = 3, [-2,2] = -3, {1,1} = 0,1, {-2,7} = 0,3, [0] = 0, {0} = 0, [5] = 5, {5} = 0, sign(5,6) = 1, sign(-2,4) = -1, sign(0) = 0.

б)  Первое утверждение верно и доказывается простым разбором случаев, а остальные ложны: 1 = [0,8 • 1,5] = [0,8] • [1,5] = 0 и 0,2 = = {0,8 • 1,5} = {0,8} • {1,5} = 0,4.

в)  Все утверждения этого пункта ложны: sign(1 + 1) = sign(1) + + sign(1), [0,9 + 0,9] = [0,9] + [0,9], {0,9 + 0,9} = {0,9} + {0,9}.

г) Второе равенство получается из определения {x} переносом [x] в правую часть равенства. Докажем, что x = |x| • sign x. Действитель­но, при x > 0 имеем |x| = x, sign x = 1, |x| • sign x = x • 1 = x, при x < 0 имеем |x| = -x, sign x = -1, |x| • sign x = (-x) • (-1) = x, а при x = 0 доказываемое равенство превращается в 0 = 0 • 0.

Задача 3. Постройте графики функций 2x + 3, x2, 1/x, [x], {x}, • Iх! 1 1

signx, —, X . x

|x I

Решение. Для построения графика функции — полезно заметить, что она равна sign x при x = 0 и не определена при x = 0.

Задача 4. На рисунке обведите разными цветами графики функций

х/2, х, 2х, х2, х3, х4, х6, Ух, Ух, Ух, 1/х, 1/х2.

 

Решение. Сначала заметим, что среди данных функций три линей­ных: х/2, х и 2х. Их графики легко выделить: это прямые, проходящие через точку 0. Между собой эти графики различаются углом наклона.

Теперь мысленно «сотрем» уже определенные графики. Заметим, что только у графиков функций 1/х и 1/х2 есть вертикальные асимп­тоты. Ветви этих функций при х < 0 различаются по знаку (1/х < 0, 1 /х2 > 0). При х > 0 обе функции положительны, причем при 0 < х < 1 выполнено 1 /х2 > 1/х, а при х > 1 — 1/х > 1 /х2. Таким образом, гра­фики этих функций также определяются. При этом оказывается, что одна из нарисованных гипербол (лежащая в IV квадранте) —лишняя.