Таблицы Брадиса

Докажите, что для любой конечной

Докажите, что для любой конечной

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 8. Перечислите все подгруппы: а) Б3; б) г.

Определение 6. Наименьшее натуральное к, такое что для элемента а е О выполняется равенство ак = е, называется порядком элемента а. Обозначение: оМ а. Если такого числа не существует, то говорят, что оМ а = 0.

54                                                     Теория групп

Задача 9. Докажите, что в конечной группе оМ а > 0 для любого элемента а.

Задача 10. Докажите, что ап = е тогда и только тогда, когда оМ а | п.

Определение 7. Левым (правым) смежным классом группы Є отно­сительно подгруппы Н называется множество вида аН = {ах | х є Н} (соответственно вида На = {ха | хєН}).

Задача 11. Докажите, что левые (правые) смежные классы между собой либо не пересекаются, либо совпадают.

Задача 12. Найдите разбиение на левые и правые смежные классы группы по подгруппе: а) Z/2Z; б) 54/Л4; в) 53/((12)).

Задача 13 (теорема Лагранжа). Докажите, что для любой конечной группы Є подрядок любой ее подгруппы Н делит порядок группы Є (|С|. |Н|).

Задача 14. Докажите, что порядок любого элемента конечной груп­пы Є делит порядок группы Є (|Є|. оМ а).

Определение 8. Обозначим через р (п) число натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п. Функция (р (п) называется функцией Эйлера.

Задача 15. Найдите: а) р(2), р(6), р(30); б) р(р); в) р(рп).

Задача 16. Докажите, что для любых взаимно простых чисел т и п выполнено равенство р(тп) = р(т)р(п).

Задача 17. Найдите р(р^1 ■... ■ ркп).

Задача 18 (теорема Эйлера). Докажите, что для любого числа а, взаимно простого с п, выполнено равенство ар(п) = 1 (mod п).

Задача 19*. Опишите группы симметрий: а) правильного треуголь­ника; б) квадрата; в) правильного п-угольника (группа диэдра Вп).