Таблицы Брадиса

Докажите, что для любых двух

Докажите, что для любых двух

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 1. Найдите четности подстановок из задач 1, 2 предыдущего листка.

Задача 2. Пусть а и Ь — подстановки на множестве из четырех эле­ментов, а = (1, 2, 3, 4), Ь = (1, 4, 3). Какие из следующих подстановок четны, а какие нечетны: а) е; б) а; в) Ь; г) Ь2 = Ь ■ Ь; д) Ь3 = Ь ■ Ь ■ Ь;

е)  аЬ; ж) Ьа?

^                                  Задача 3. Докажите, что а) приумножении на транспозицию Гсправа

или слева) четность меняется; б) четность произведения к транспо­зиций равна четности числа к.

Задача 4. а) Как выражается четность аЬ через четность а и чет­ность Ь?

б)  Как выражается четность ап через четность а?

Задача 5. Каких подстановок в Бп больше: четных или нечетных?

Задача 6*. Докажите, что если в игре «пятнашки» поменять местами фишки с номерами «14» и «15», то, играя в эту игру, невозможно получить первоначальное расположение фишек.

 

 

Задача 7*. Докажите, что из любого расположения фишек можно, со­блюдая правила игры, получить либо начальное расположение, либо расположение, описанное в предыдущей задаче.

Подстановки 2                                                     41

Определение 2. Подстановкой, обратной к подстановке а е 5п, на­зывается такая подстановка Ь е 5П, что аЬ = Ьа = е. Обозначение: а-1.

Задача 8. Докажите, что для любых двух подстановок а и Ь имеет место равенство (аЬ)-1 = Ь-1 а-1.

Задача 9. Найдите все а е 5п, такие что для любой подстановки Ь е 5п выполняются равенства: а) Ьа = Ь; б) Ьа = аЬ; в*) Ьа = аЬ-1.

Задача 10* (замена переменных). Пусть даны подстановки а, с е 5п, и пусть Ь = с-1 ас.

а)  Докажите, что если подстановка а задана таблицей а = (1.1'"1!'), то ь = № • • • с(пл            7 ^