Таблицы Брадиса

Докажите, что а если а2.

Докажите, что а если а2.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Теперь докажем признаки делимости на 3 и на 9. Для определенно­сти будем рассматривать десятичное число, содержащее 5 знаков — аЬсйе (например 54728). Его можно представить в виде:

аЬсйе = е +10^ + 100с + 1000Ь + 10000а =

= е + d + 9й + с + 99с + Ь + 999Ь + а + 9999а =

= (а + Ь + с + й) + 9(й + 11с + 111Ь + 1111а).

Отсюда опять-таки по задаче 2з следует утверждение этого пункта.

Признак делимости на 11 доказывается при помощи очень похо­жего трюка:

аЬсйе = е + 10й + 100с + 1000Ь + 10000а =

= е + 11й — й + 99с + с + 1001Ь — Ь + 9999а + а =

= 11(й + 9с + 91Ь + 909а) + (а — Ь + с — й + е).

Многие школьники помнят неверную формулировку признака де­лимости на 11, а именно: «Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах». Бывают числа, которые не удовлетворяют этому «признаку», однако делятся на 11. Например, число 11 • 5658 = 62238.

Задача 5. Может ли число, сумма цифр которого равна 2004, быть полным квадратом?

Решение. Нет, не может. Так как сумма цифр этого числа делится на 3 и не делится на 9, само число делится на 3, но не делится на 9.

Ш Надо сказать, что при решении задач на делимость очень часто оказывается полезным рассмотреть, какие остатки дают разные числа в задаче при делении на одно и то же число (например, на 3 и на 9, как в этой задаче).

Задача 6*. Число а в три раза больше суммы своих цифр. Докажите, что число а делится на 27.

Решение. Пусть сумма цифр числа а равна Ь. По условию а = 3Ь. Значит а делится на 3, тогда, по признаку делимости на 3, Ь = 3с, то есть а = 9с. Значит а делится на 9, и, по признаку делимости на 9, Ь = 9й, то есть а = 27й, что и требовалось доказать.

Задача 7. Докажите, что а) если а2. (а + Ь), то Ь2. (а + Ь); б*) если х + у + % = 0, то (х3 + у3 + г3 — 3xyz). (х + у + z)'