Таблицы Брадиса

Докажите, что любая конечная группа

Докажите, что любая конечная группа

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 22. Докажите, что для любого гомоморфизма f : G ^ H вы­полнено Im f = G/ Ker f (в частности, Ker f — нормальная подгруп­па G).

3.   действия

Определение 6. Гомоморфизм f группы G в группу преобразований множества А (т. е. биективных отображений множества А в себя) называется действием группы G на этом множестве. (Таким образом f ставит в соответствие каждому элементу g группы G некоторую биекцию множества А в себя.) Если понятно, о каком действии идет речь, элемент f (g)(a) обозначается ga.

Задача 23. Какие из следующих отображений являются действиями группы на себе?

66                          Теория групп 2. Гомоморфизмы

а)  f (g)(x) = gx (левый сдвиг);

б)  f (g)(x) = g-1x;

в) f (g)(x) = xg (правый сдвиг);

г) f (g)(x) = xg-1;

Д) f (g)(x) = gxg-1 (действие сопряжениями).

Задача 24 (теорема Кэли). Докажите, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы Sn.

Задача 25. Перечислите все действия:

а)  группы Z на множестве из двух элементов (одного элемента);

б)  группы Z/nZ на множестве из двух элементов (одного элемен­та);

в) группы Z/nZ на множестве из трех элементов;

г)  группы Z/2Z на группе Z (на группе Z/4Z), такие что каждое преобразование f (g) является изоморфизмом;

д) группы Z/nZ на множестве вершин квадрата, такие что каждое преобразование f (g) является поворотом.

Определение 7. Множество Ga = {ga | g e G} называется орбитой точки a e A.

Определение 8. Орбиты действия сопряжениями называются клас-                               .

V7-                       сами сопряженных элементов.

Задача 26. Докажите, что отношение «точка а принадлежит орбите точки Ь» является отношением эквивалентности.

Задача 27. а) Опишите орбиты для действий из задачи 25.