Таблицы Брадиса

Докажите, что .

Докажите, что .

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 9. Множество stab а = {g е G | ga = а} (другое обозна­чение: Ga) называется стабилизатором точки а е A.

& Нетрудно видеть, что Ga является подгруппой в G.

Задача 28. Укажите стабилизаторы для действий из предыдущих за­дач.

Ответ. У действия левыми (или правыми) сдвигами стабилизатор любой точки тривиален (состоит из единицы группы).

Стабилизатор точки g при действии сопряжениями состоит из элементов группы, коммутирующих с g.

Для тривиального действия стабилизатор любого элемента совпа­дает со всей группой.

Вообще, стабилизатор элемента x при действии, соответствующем гомоморфизму р: G ^ Sn, есть p-1(Sn-1) (где Sn-1 с Sn — подгруппа, оставляющая x на месте).

Задача 29. Докажите, что |Gx| • |Gx| = |G|.

Ш В частности, отсюда следует, что размер любой орбиты делит порядок группы (если оба они конечны).

Решение. Заметим, что |G| = J]уесх I{g е G | gx = у}|. Докажем, что для каждой точки у в орбите точки x множество {g е G | gx = у} равно­мощно стабилизатору точки x. Действительно, рассмотрим какой- нибудь конкретный у е Gx; по определению можно выбрать gy так, что gyx = у; тогда отображение g ^ g-1 g задает биекцию между {g е G | gx = у} и Gx. Значит, |G| = ^eGx |Gx I = |Gx I ■ |Gx|.

Задача 30. Докажите, что в группе из р2 элементов (р — простое число) найдется хотя бы два класса сопряженных элементов из одного элемента.

Указание. Один такой класс — класс единицы.

Решение. По предыдущей задаче каждый такой класс содержит либо один элемент, либо р элементов: действительно, его размер должен делить порядок группы, то есть р2 (а совпадать с р2 он не может, так как класс единицы состоит из нее одной).

Подсчитывая общее число элементов в группе, получаем р2 = п0 + + п1 р, где п — количество классов из р1 элементов. Значит, п0 делится на р, что (так как п0 = 0) влечет п0 ^ 2.