Таблицы Брадиса

Докажите обобщенный принцип математической индукции.

Докажите обобщенный принцип математической индукции.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 11. Докажите, что:

а)  2п > п; б) 2п > п2 при п > 4; в) п! > 2п при п > 3; г*) существует такое к, что 2п > п2004 при всех п > к.

Задача 12. Вершины выпуклого многоугольника раскрашены ровно в три цвета так, что никакие две соседние вершины не окрашены в один цвет. Докажите, что многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники так, чтобы у каждого треугольника вершины были трех разных цветов.

Обобщенный принцип математической индукции. Пусть задана последовательность утверждений А1, А2,. . . , Ак,. .. Известно, что:

1)   (база индукции) первое утверждение истинно,

2)    (шаг индукции) из истинности утверждений А1, А2,..., Ап сле­дует истинность утверждения Ап+1.

Тогда все утверждения истинны.

Задача 13*. Докажите обобщенный принцип математической индук­ции.

Задача 14. Докажите, что если а + - целое, то ак + целое при любом к.           а

Задача 15*. В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчу­ном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей-молчунов. Докажите, что учитель может выгнать из класса не более половины учеников так, чтобы все болтуны молчали.

Задача 16* (Задача Сильвестра). На плоскости взяты несколько то­чек так, что на каждой прямой, соединяющей любые две из них, лежит по крайней мере еще одна точка. Докажите, что все точки лежат на одной прямой.

Задача 17*. Докажите, что пп+х > (п + 1)п при п > 2.

Комбинаторика 2. Бином Ньютона

листок 5 / октябрь 20 04

Определение 1. Треугольником Паскаля называется треугольная таб­лица, составленная из чисел по следующему правилу: строка с номе­ром п состоит из п чисел, первое и последнее числа каждой стро­ки равны единице, а каждое из остальных чисел равно сумме двух ближайших к нему чисел предыдущей строки. Число, стоящее на (к + 1)-м месте (п + 1)-й строки, обозначается ^ ^.