Таблицы Брадиса

Достаточно предъявить какието частные решения.

Достаточно предъявить какието частные решения.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

1Л Л 1Л Л 1 Л п + 2

в) Гі—-V Гі — -V...• Гі—^Ц1 = -

V      4) V 9) V (п + 1)2У 2п

4; V 9) V (п +1)2У 2п + 2 Указание. Все пункты легко доказываются при помощи метода мате­матической индукции.

Задача 9. Решите в целых числах уравнения:

а) 7х + 5у = 1; б) 27х — 24у = 1; в) 12х — 33у = 9;

г) — 56х + 91 у = 21; д) 344х — 215у = 86; е) 3х + 5у + 7% = 1.

Указание. Следует воспользоваться решением задачи 12 из листка «Алгоритм Евклида» для нахождения частного решения и задачей 13 для нахождения общего решения.

Ответ. а) х = —2 + 5£, у = 3 — 7£;

б) нет решений, так как левая часть всегда делится на 3;

в) х = 9 +11£, у = 3 + 4£;

г) х = —15 + 13£, у = —9 + 8£;

д) х = — 1 + 5£, у = —2 + 8£;

е) х = 2 — 14? + 5£, у = —1 + 71 — 3£, % = I.

Задача 10. Верно ли, что для любого натурального п числа 10п + 7 и 10п + 5 взаимно просты?

Решение. Верно. Оба числа нечетные, то есть не делятся на 2. Если бы они не были взаимно простыми, то оба бы делились на одно и то же число, большее 2, но тогда и их разность — 2 — должна делиться на это число, чего быть не может.

Задача 11. Найдите такие числа а и Ь, что ах + Ьу = 1 при

а) х = 7, у = 9; б) х = 17, у = 19; в) х = 27, у = 29;

г)     х = 37, у = 39; д) х = 47, у = 49.

Решение. Заметим, что в этой задаче вовсе не обязательно находить все решения. Достаточно предъявить какие-то частные решения. Про­демонстрируем технику нахождения частного решения для уравне­ния такого сорта, например, для пункта б).

Распишем алгоритм Евклида для чисел 17 и 19: (19,17) ^ (17, 2) ^ ^ (2,1). Отсюда получаем: 1 = 2 — 1 = 2 — (17 — 2 ■ 8) = (19 — 17) —

—  (17 — (19 — 17) ■ 8) = 19 ■ 9 — 17 ■ 10, то есть а = —10, Ь = 9.

Ответ. а) а = —5 + 9с, Ь = 4 — 7с;

б)  а = —10 + 191, Ь = 9 — 17с;

в) а = —15 + 29с, Ь = 14 — 27с;