Таблицы Брадиса

Достаточно теперь убедиться, что

Достаточно теперь убедиться, что

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Пользуясь тем, что I^—1) = I^)—1 (см. задачу 3), несложно про­верить, что Кег I и 1т I замкнуты и относительно операции взятия обратного.

Остается заметить, что, так как I(е) = е (снова см. задачу 3), Кег I и 1т I содержат единицу.

Задача 11. Докажите, что гомоморфизм I: О — Н является изомор­физмом тогда и только тогда, когда 1тI = Н, КегI = {еО}.

Решение. Так как изоморфизм биективен, приведенное условие заве­домо является необходимым.

Покажем, что оно является и достаточным. Так как Im f = H, го­моморфизм f сюръективен. Достаточно теперь убедиться, что Ker f = = {e} влечет инъективность f. Но действительно, f (g1) = f (g2) влечет f (glg-1) = e, то есть gig-1 e Ker f.

Замечание. Видно из решения и то, что гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда он имеет тривиальное ядро.

Задача 12. Придумайте гомоморфизм из группы Z, ядром которого является подгруппа четных чисел.

Ответ. Приведение по модулю 2 (из Z в Z/2Z). Среди сюръекций ответ единственен.

2.  СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ

Задача 13. Существует ли гомоморфизм из группы S3, ядром которо­го является подгруппа {e, (12)}?

Ответ. Нет, не существует.

Указание. Рассмотрите перестановку вида a(12)a-1, где a — какая- нибудь перестановка, отличная от (12).

Решение. Ядро любого гомоморфизма является нормальной подгруп­пой, то есть

Vh e Ker f Vg e G ghg-1 e Ker f.

Действительно, так как f (ghg-1) = f ( g) f (h) f ( g-1) = f (g)ef ( g)-1 = e, ghg-1 e Ker f.

Можно показать, что любую нормальную подгруппу H можно представить как ядро подходящего отображения — например, проек­ции G^G/H (необходимые определения см. далее).

Осталось заметить, что {e, (12)} нормальной подгруппой не явля­ется, так как в виде a(12)a-1 можно представить любую транспози­цию.