Таблицы Брадиса

Если запретить двойное гражданство, то

Если запретить двойное гражданство, то

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Ш Это очень важное отношение эквивалентности: отождествление всех элементов множества X. Важные примеры приведены в коммен­тарии к задаче 6.

н) Отношение эквивалентности.

о)  Рефлексивность и симметричность очевидны. С транзитивно­стью возникают проблемы, если разрешено двойное гражданство. Например, если Вася является гражданином страны А и страны Б, а Петя — гражданин только страны А, а Коля — гражданин только стра­ны Б, то Петя ~ Вася и Вася ~ Коля, но неверно, что Петя ~ Коля. Если запретить двойное гражданство, то это отношение будет отношением эквивалентности.

п) Это условие просто означает равенство треугольников. От­ношение рефлексивно, поскольку треугольник равен самому себе. Симметричность тоже очевидна. Заметим, что если треугольник Т равен треугольнику Т2 и треугольник Т2 равен треугольнику Т3, то треугольник Т равен треугольнику Т3, поэтому отношение транзи­тивно.

Ш Эта задача поможет школьнику видеть отношение эквивалентно­сти в разных задачах и осознанно пользоваться его свойствами.

Задача 4. Докажите, что отношение эквивалентности на множестве задаёт отношение эквивалентности на каждом его подмножестве.

Ш Если задавать отношение в виде графа, то утверждение задачи очевидно.

178                         Отношения эквивалентности

Решение. Пусть А с В. Пусть на В задано отношение Я. Как же опреде­лить соответствующее ему отношение ЯА на А? Будем говорить, что а1 а2, где аъ а2 є А, если пара (аъ а2) є Я. Теперь легко заметить, что если Я было отношением эквивалентности, то и отношение на А будет отношением эквивалентности (попросите школьников строго выписать все свойства!).