Таблицы Брадиса

Если же к 0, то

Если же к 0, то

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Решение. а) Доказательство во всех случаях несложно следует из определения. Докажем последнее утверждение:

(ак)1 = ак ■... • ак = а •... • а = аы, если к и I натуральные.

I                    к1

Если одно из чисел к или I отрицательно, то нужно в соответствующем месте вместо произведения вида а ■. . . ■ а рассматривать произведение вида а-1 •... • а-1.

6)  В этом пункте тоже нужно не забыть, что проверить тождество мы должны для всех целых к, а не только для натуральных. Если к > О, то

(аЬ)к = аЬ-...-аЬ =

к к к так как аЬ = Ьа. Если же к < 0, то

(аЬ)к = /ГУ1- -ГУ1, = а~1-...-а~Н~1-...-Ь~1, =

-к -к -к

= (а-1)-к(Ь-1)-к = акЬк.

Задача 13. а) Докажите, что для любых а, Ь е 5п существуют и при том единственные х, у е Бп, такие что ах = Ь, уа = Ь. Обязательно ли х = у?

б) Докажите, что для любых а, Ь, с е Бп

(а = Ь) ^ (ас = Ьс) ^ (са = сЬ).

Решение. а) Если взять х = а-1 Ь и у = Ьа-1, то они, очевидно, будут удовлетворять условию задачи. Подстановка х при этом совершенно не обязательно должна быть равна подстановке у. Например, если

Г123Л и Г123Л взять а =1 3211, Ь = I 13^, то они получатся разными.

б)  Достаточно заметить, что при умножении обеих частей ра­венства на одну и ту же подстановку (слева или справа) равенство сохраняется.

Задача 14. Докажите, что для любой подстановки а е Бп существует натуральное к, такое что ак = е.

Решение. Так как подстановок длины п конечное число, среди сте­пеней подстановки а найдутся две совпадающие: ап = ат. Тогда в качестве к можно взять п — т.

Определение 3. Наименьшее натуральное к, такое что для подста­новки а е Бп выполняется равенство ак = е, называется порядком подстановки а.