Таблицы Брадиса

Если же п простое, то,

Если же п простое, то,

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

0  < а < п, 0 < Ь < п такие, что а ■ Ь = п. Следовательно, в этом случае наше множество даже не будет замкнутым относительно введенной операции.

Если же п — простое, то, как доказывалось в листке «Целые чис­ла 2», для любого числа 0 < а < п найдется такое Ь, что аЬ = 1 по модулю р. Значит, если мы положим единичный остаток за единич­ный элемент, то все три аксиомы группы будут выполнены.

р) Да, является при любых п. Если 0 < а < п и НОД(а, п) = 1, то найдется 0 < Ь < п такое, что аЬ = 1 по модулю п (это следует из того, что уравнение ах + Ьу = НОД(а, Ь) всегда имеет решение в целых числах). Ясно, что тогда и Ь будет взаимно просто с п. Значит, все

202                                       Теория групп

три аксиомы выполнены (истинность первых двух мы уже проверяли в предыдущих задачах).

& Эта задача дает запас примеров групп. Разные утверждения о группах бывает полезно проверять сначала на каких-нибудь из этих примеров. Проще всего обычно проверка для коммутативных групп Z и Z/nZ, а случай Бп часто позволяет полностью разобраться в происходящем.

Определение 3. Группа О называется коммутативной (или абеле­вой), если для любых а, Ь е О выполнено аЬ = Ьа.

Задача 2. Какие из групп задачи 1 коммутативны?

Ответ. Все кроме группы перестановок.

& В качестве еще одного полезного примера некоммутативной груп­пы приведем группу движений плоскости или пространства. К при­меру, композиция двух осевых симметрий на плоскости относительно прямых, пересекающихся под углом а, является поворотом на угол 2а с центром в точке пересечения прямых, направление которого зависит от порядка, в котором берется композиция.

Задача 3. Докажите, что: