Таблицы Брадиса

Эти два пункта разбираются несложно.

Эти два пункта разбираются несложно.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Определение 4. Отображение /: О ^ Н из группы О в группу Н называется изоморфизмом, если оно взаимно однозначно и сохра­няет операцию, то есть Ух, у е О /(х * у) = /(х) * /(у). Если такое отображение существует, то группы О и Н называются изоморфными.

Задача 5. Выпишите все попарно неизоморфные группы из: а) 1,2, 3;

б) 4; в*) 13 элементов.

Указание. К пунктам б) и в) можно вернуться после доказательства теоремы Лагранжа.

& Один из способов задавать группы — это «таблица умножения»— квадратная таблица, в которой строки и столбцы занумерованы эле­ментами группы, а в каждой клетке записано произведение (в рас­сматриваемой группе) «номера» строки на «номер» столбца.

Ясно, что каждой такой таблице, строки и столбцы которой про­нумерованы множеством О, соответствует ровно одна бинарная опе­рация на О. Осталось понять, когда эта операция задает структуру группы. Для этого в таблице должны быть строка и столбец, соот­ветствующие единичному элементу, должна выполняться ассоциа­тивность (это условие на таблице проверять сложнее всего); наконец, элементы в одном столбце (в одной строке) не должны повторяться — это условие существования обратного.

Решение. а) Группы из одного элемента — это просто е. Далее, группы из двух элементов состоят из а и е и таблица умножения там такова: аа = е, ае = еа = а. Эти два пункта разбираются несложно. Группа из трех элементов содержит е, а и Ь, причем все они не равны друг другу. Рассмотрим элемент аЬ: он не может быть равен ни а, ни Ь, поэтому аЬ = е и Ь = а—1. Значит, а2 не может быть равно ни а, ни е, поэтому Ь также равно а2. Получаем, что любая группа из трех элементов

204                                       Теория групп