Таблицы Брадиса

Это означает, что а .

Это означает, что а .

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

в) Верно.

п5 — п = п(п4 — 1) = п(п2 — 1)(п2 +1) = (п — 1)п(п + 1)(п2 + 1).

Так как п, п — 1 и п + 1 —три последовательных натуральных чис­ла, среди них обязательно есть хотя бы одно четное и ровно одно, делящееся на три. Значит, все произведение делится на 6. Осталось доказать, что п5 — п делится на 5. Но это следует из малой теоремы Ферма.

г) Неверно. Например, при п = 2: 22п — 1 = 24 — 1 = 15/6.

д) Докажем утверждение по индукции.

База индукции. При п = 0 имеем 113 +1 = 1332 = 148 ■ 9.

Шаг индукции. Пусть для некоторого п выполнено: 116п+3 +1. 148. Тогда

116п+9 + 1 = 116 ■ (116п+3 + 1 — 1) +1 = 116 ■ (116п+3 +1) — 116 +1 =

= 116■ (116п+3 +1) + (1 — 113)(1 +113) . 148.

Задача 2. Дайте определение: а) НОД; б) НОК чисел а1, а2,ап (п > 2).

Определение 1. Наибольшим общим делителем чисел а1, а2..., ап на­зывается наибольшее из таких чисел й, что а1.й, а2. й,..., ап .й.

Определение 2. Наименьшим общим кратным чисел а1, а2,ап называется наименьшее из таких положительных чисел й, что й. а1, й. а2, ..., й. ап.

Задача 3. Докажите, что для любых а, Ь и с, таких что а ■ Ь ■ с = 0:

а) НОД(а, Ь, с) = НОД (а, НОД (Ь, с)) = НОД (НОД(а, Ь), с);

б) НОК(а, Ъ, с) =--- |аЬс| -Н0Д(а, Ь, с)         ^

НОД(а, Ь) ■ НОД(Ь, с) ■ НОД(а, с)

Решение. Докажем, например, что НОД(а, Ь, с) = НОД(а, НОД(Ь, с)). Остальное доказывается аналогично.

1)  Пусть НОД(а, Ь, с). р, где р — какое-то целое число. Это означа­ет, что а . р, Ь . р и с . р. А значит, НОД(Ь, с). р. Отсюда следует, что НОД(а, Ь, с). р. Значит, НОД(а, НОД(Ь, с)). НОД(а, Ь, с).

2)  Пусть НОД (а, НОД(Ь, с)). р, где р —какое-то целое число. От­сюда а. р, НОД(Ь, с). р. А значит, а. р, Ь. р и с. р. Отсюда следует, что НОД(а, НОД(Ь, с)).р. Значит, НОД(а, Ь, с). НОД(а, НОД(Ь, с)).

Задача 4. Существует ли число, которое при делении на числа 2, 3, 4, 5 и 6 дает в остатке соответственно: