Таблицы Брадиса

Это противоречит определению оМ а.

Это противоречит определению оМ а.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

б) В решении этой задачи ключевой момент следующий: если два целых числа лежат в какой-то подгруппе Ж, то и остаток от деления одного числа на другое лежит в этой подгруппе.

Ответ: это либо нулевая подгруппа, либо подгруппа вида пЖ, где п = 0.

Действительно, пусть А — нетривиальная подгруппа Ж. Тогда в ней существует ненулевой элемент т с наименьшим модулем. Докажем теперь, что все а е А обязаны делиться на т нацело. Если какой-то

206                                       Теория групп

а е А не делится на т, то для него верно, что а = Ьт + г, где 0 < г < < |т|. Но тогда и г е А, то есть модуль г меньше модуля т. Получили противоречие, поэтому элемент т порождает всю группу А. Заметим, что А совпадает с 2 тогда и только тогда, когда т = ±1.

Определение 6. Наименьшее натуральное к, такое что для элемента а е О выполняется равенство ак = е, называется порядком элемента а. Обозначение: оЫ а. Если такого числа не существует, то говорят, что о^ а = 0.

Задача 9. Докажите, что в конечной группе оЫ а > 0 для любого элемента а.

Решение. Начнем возводить а в положительную степень. Так как группа конечна, то ак = а1 для некоторых положительных к и I, к < I. Следовательно, а1—к = е.

Задача 10. Докажите, что ап = е тогда и только тогда, когда оЫ а | п.

Решение. Разделим п на оМ а с остатком: п = т ■ оМ а + к. Если оста­ток к не равен нулю, то тогда к < оМ а. Поскольку ап = е и аог<1 а = е, ак также равно е. Это противоречит определению оМ а.

Определение 7. Левым (правым) смежным классом группы О отно­сительно подгруппы Н называется множество вида аН = {ах | х е Н} (соответственно вида На = {ха | х еН}).

Задача 11. Докажите, что левые (правые) смежные классы между собой либо не пересекаются, либо совпадают.