Таблицы Брадиса

Г123У Г1234Л л 12345 .

Г123У Г1234Л л 12345 .

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 15. Пусть подстановка представлена в виде произведения независимых циклов с1,. . . , сп. Докажите, что порядок подстановки а равен НОК(|с1|,. . . , |сп|) (где |с;| есть длина цикла с;).

Решение. Пусть к = НОК(|с1|,..., |сп|). Так как к делит |с; |, с1к = е. Кроме того, независимые циклы коммутируют, поэтому ак = ск •... • с^ = е.

Осталось доказать, что а1 = е для 0 < I < к. Действительно, для некоторого 1 число I не делит |с|, а значит с\ = е. Поэтому а1 имеет нетривиальную циклическую структуру. В частности, она не равна тождественной перестановке.

Задача 16. Если к — порядок подстановки а, то ап = е тогда и только тогда, когда п делится на к.

Указание. Следует разделить п на к с остатком и доказать, что остаток не может быть отличным от нуля.

О         1-7 и                  Л Л23Л100 Л234Л1000 . Л2345Л-2007

Задача17. Вычислите: а)                     ; б) ^234^ ; в)                           ;

) Л2345Л500; ) Л23456Л-127; ) Л234567Л1001

г)  Н52Ш ; д) Н5263и ; ^7651234у '

Указание. Для нахождения степеней подстановки удобно найти ее порядок (для чего, в свою очередь, часто бывает удобно разложить подстановку в произведение независимых циклов).

~             . Г123У Г1234Л „л (12345V . Г12345Л „л Г123456Л .

Ответ■ а) ^ 12^ ; б) (д234,); в) ^5142^ ; г) и354^ ; д) (,635124,) ;

е)   (1234567Л

е)   ^4657231^ .

Целые числа 1. Делимость целых чисел

листок 7 / декабрь 2004

Ш Это первый из серии листков про целые числа. Развитая в этих листках техника используется и для работы с многочленами (а также для работы над более общими кольцами и модулями над кольцами).

Отметим, что обсуждение целых чисел сразу начинается с дели­мости, а никакого определения целых чисел мы не даем. Формальное определение целых чисел можно дать, но это только запутывает суть дела.