Таблицы Брадиса

Гомоморфизмы Задача 14.

Гомоморфизмы Задача 14.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

& Вообще, сопряжение (см. задачу 23) в группе перестановок соот­ветствует «замене координат» — переобозначению переставляемых элементов. См. также комментарий к задаче 7 в листке «Отношения эквивалентности».

238                         Теория групп 2. Гомоморфизмы

Задача 14. Докажите, что для любого a g G и любого гомоморфизма f : G ^ H выполнено равенство a(Ker f ) = (Ker f )a.

Решение. Поскольку условие a(Ker f ) = (Ker f )a равносильно тому, что a(Ker f )a-1 = Ker f, достаточно воспользоваться решением пре­дыдущей задачи.

Задача 15. а) Докажите, что школьное правило

четное + четное = нечетное + нечетное = четное, четное + нечетное = нечетное + четное = нечетное

задает структуру группы на множестве {{2n | n g Z}, {2n + 11 n g Z}}.

б) Докажите, что аналогичное правило задает структуру группы на множестве {An, Sn\An}.

Ш Содержательная часть задачи заключается в том, что эта структу­ра группы согласована со структурой исходной группы.

Определение 3. Напомним, что левым смежным классом элемента g группы G относительно подгруппы H называется множество gH. Мно­жество всех левых смежных классов обозначают G/H.

Множество правых смежных классов группы G относительно под­группы H (множеств вида Hg) обозначают H\G. (Не следует путать фактор с разностью множеств.)

Определение 4. Подгруппа H группы G называется нормальной, ес­ли для любого элемента a g G выполнено aH = Ha (или, что то же самое, aHa-1 = H). Обозначение: H<G).

Ш Другими словами, нормальной называется подгруппа, содержа­щая вместе с любым элементом все сопряженные к нему.

Задача 16. Докажите, что любая подгруппа коммутативной группы нормальна.

Решение. Действительно, aH = Ha для произвольного элемента a и подмножества H коммутативной группы G.