Таблицы Брадиса

Гомоморфизмы Задача 3.

Гомоморфизмы Задача 3.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

234                         Теория групп 2. Гомоморфизмы

Задача 3. Докажите, что для любого гомоморфизма I: О — Н

а) I(ео) = ен; б) I(х—1) = I(х)—1; в) I(хп) = I(х)".

Решение. а) Заметим, что /(е)/(е) = /(ее) = /(е). Но в группе х2 = х только для х = е (чтобы убедиться в этом, домножим исходное равен­ство на х—1).

б)  Действительно, I(х—1)I(х) = I(хх—1) = I(е) = е.

в) Доказательство индукцией по п. Проверим шаг:

I (х"+1) = I (х"х) = I (х")/(х) = I (х)"/(х) = I (х)п+1.

Задача 4. Пусть О — произвольная группа, а Н — абелева группа. Введите структуру группы: а) на Нот(О, Н), б) на ЛиЦО).

Ответ. а) (^)(х) = I(х)g(x); б) №)(х) = I(я(х)).

Вопрос. Что является единицей? Обратным элементом? Почему ответ первого пункта не подходит для второго (и наоборот)? Подходит ли решение пункта а) для неабелевой группы Н?

Задача 5. Найдите все гомоморфизмы:

а) 1: 2 —— 2; б) 1: 2 —— 2/п2; в) 1: 2/п2 —— 2/т2.

Указание. Каждый из этих гомоморфизмов полностью задается обра­зом элемента 1.

Решение. См. решение задачи 7.

Задача 6. а) Найдите все подгруппы в 2/42, 2/72.

б) Докажите, что любая подгруппа группы 2/"2 изоморфна груп­пе вида 2/т2.

Ш Группа О, порожденная степенями одного элемента g, называется циклической. Любая группа вида 2/п2 — циклическая; рассматри­вая гомоморфизм 2 — О, к — gk, нетрудно убедиться, что верно и обратное. (Подробнее: ядро этого гомоморфизма — подгруппа в 2, порожденная некоторым числом "; тогда этот гомоморфизм задает изоморфизм между 2/п2 и О.)

Решение пункта б) показывает, что любая подгруппа цикличе­ской группы — снова циклическая. (Не следует при этом думать, например, что произвольная подгруппа группы, порожденной двумя элементами, порождена двумя элементами.)