Таблицы Брадиса

Гомоморфизмы Задача 7.

Гомоморфизмы Задача 7.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

а)  Тождественное отображение произвольной группы;

б)  отображение произвольной группы в единицу;

в) f : Z — Z, f (n) = 2n; г) f : Z — Z, f (n) = n + 1;

д)  f : Z — Z, f (n) = n2; е) f : Z/pZ — Z/pZ, f (n) = -n;

ж)  f :(Z/pZ)x — (Z/pZ)x, f (n) = n-1;

з)  f : (Z/pZ)x — (Z/pZ)x, f (n) = n10;

и)  f : Sn — Sn, f (x) = ax; к) f : Sn — Sn, f (x) = x-1; л) f : Sn — Sn, f (x) = axa-1; м) sign : Sn — Z/2Z.

Задача 3. Докажите, что для любого гомоморфизма f : G — H

а)  f (eG) = eH ; б) f (x-1) = f (x )-1; в) f (xn) = f (x )n.

Задача 4. Пусть G — произвольная группа, а H — абелева группа. Введите структуру группы: а) на Hom(G, H), б) на Aut(G).

Задача 5. Найдите все гомоморфизмы

а)  f : Z —— Z; б) f : Z —— Z/nZ; в) f : Z/nZ —— Z/mZ.

Задача 6. а) Найдите все подгруппы в Z/4Z, Z/7Z.

б) Докажите, что любая подгруппа группы Z/nZ изоморфна группе вида Z/mZ.

64                           Теория групп 2. Гомоморфизмы

Задача 7*. Сколько существует гомоморфизмов из группы: а) Ж;

б)  Ж/рЖ в группу О?

Задача 8. Какие из следующих групп изоморфны: Ж/2Ж, (Ж/3Ж)Х, 52, Ж/6Ж, 53, (Ж/7Ж)Х?

Определение 2. Множество /(О) называется образом гомоморфиз­ма /: О^Н. Обозначение: 1т/.

Множество /—1(еН) называется ядром гомоморфизма /: О ^ Н. Обозначение: Кег/.

Задача 9. Найдите ядра и образы всех гомоморфизмов задачи 2.

Задача 10. Докажите, что 1т / и Кег / — подгруппы в Н и О соответ­ственно.

Задача 11. Докажите, что гомоморфизм /: О ^ Н является изомор­физмом тогда и только тогда, когда 1т / = Н, Кег / = {еО}.

Задача 12. Придумайте гомоморфизм из группы Ж, ядром которого является подгруппа четных чисел.

2.    СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ

Задача 13. Существует ли гомоморфизм из группы S3, ядром которо-                           -Q-

го является подгруппа {е, (12)}?

Задача 14. Докажите, что для любого a є G и любого гомоморфизма f : G ^H выполнено равенство a(Ker f ) = (Ker f )a.