Таблицы Брадиса

Из рисунка видно, что их

Из рисунка видно, что их

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

 

182                         Отношения эквивалентности

Итак, Ваня и Боря получали две подстановки, которые показывают, как пересели школьники, соответствующие разным способам нуме­рации ребят.

Давайте посмотрим, как связаны подстановки а и Ь. Из рисунка видно, что их графы изоморфны. В частности, они имеют одну и ту же циклическую структуру (набор циклов в разложении в произведение независимых циклов). Однако формально они различны.

Попробуем из одной подстановки получить другую. Заметим, что получить нумерацию Вани из нумерации Бори можно при помо­щи подстановки с, которая ставит в соответствие Бориному номеру

школьника его Ванин номер: с = ^24351)' Теперь, чтобы узнать, куда пересел школьник с Бориным номером п, можно сначала применить подстановку с, чтобы узнать его Ванин номер, затем применить под­становку а, чтобы узнать, куда пересел школьник (также в нумерации Вани), затем применить подстановку с-1, чтобы узнать, какой номер у этого места в нумерации Бори. Получаем: Ь = с-1 ■ а ■ с.

Итак, содержательный смысл сопряжения состоит в замене спо­соба нумерации. Иногда говорят, что подстановка просто перестав­ляет объекты, в то время как после нумерации возникает ее запись, зависящая от способа нумерации. Если один способ нумерации из другого получается с помощью подстановки с («замены координат»), то записи подстановки при разных способах нумерации получаются друг из друга с помощью сопряжения подстановкой с.

Решение. а) На самом деле, утверждение очевидно, ведь сопряжен­ные подстановки — это одна и та же подстановка, только по-разному записанная (т. е. при разных способах нумерации). Тем не менее, очень полезно провести формальное алгебраическое доказательство.