Таблицы Брадиса

Из рисунка видно, что утверждение

Из рисунка видно, что утверждение

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Пусть, наоборот, хе (А \ В) П (А \ С). Это означает, что х одновре­менно принадлежит множествам А \ В и А \ С. Следовательно, х А и элемент х не принадлежит ни одному из множеств В и С, то есть хеА \ (В и С).

Второе равенство доказывается аналогично.

Задача 14. Верно ли, что для любых множеств А, В, С:

а) А П 0 = 0; А и 0 = А; б) А и А = А; А П А = А;

в) А П В = А ^ А с В; г) (А \ В) и В = А; д) А \ (А \ В) = А П В;

е) А \ (В \ С) = (А \ В) и (А П С); ж) (А \ В) и (В \ А) = А и В?

Решение. Объясним на примере пункта ж), как можно решать такие задачи. Сначала надо понять, следует ли доказывать равенство или опровергать его. Для этого нарисуем диаграмму:

 

Из рисунка видно, что утверждение скорее всего неверно и нужно искать контрпример. Опять-таки, по диаграмме видно, что любой элемент пересечения А П В содержится в правом множестве, но не содержится в левом. Поэтому в качестве примера можно взять любые два пересекающихся множества (например, А = В = {1}).

Ш Формальным решением является доказательство в стиле предыду­щей задачи, если равенство истинно, и контрпример, если равенство ложно (кругов Эйлера недостаточно).

Ответ. Утверждения пунктов а), б), в), д), и е) верны и доказыва­ются аналогично тому, как доказываются утверждения предыдущей задачи. Утверждения пунктов г) и ж) неверны.

Задача 15. а) Внутри фигуры площади 6 расположено три много­угольника площадью не менее 3 каждый. Докажите, что существует два многоугольника, площадь пересечения которых не менее 1.

б*) Внутри фигуры площади 4 расположено 7 многоугольников площадью не менее 1 каждый. Докажите, что существует два много­угольника, площадь пересечения которых не менее 1/7.