Таблицы Брадиса

Изоморфизм на себя называется автоморфизмом.

Изоморфизм на себя называется автоморфизмом.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

I. Г ОМОМОРФИЗМЫ

Определение 1. Отображение f : G ^H группы (G, *) в группу (H, о) называется гомоморфизмом, если для любых a, b g G выполнено ра­венство f (a * b) = f (a) о f (b). Множество всех гомоморфизмов из G в H обозначается Hom(G, H).

Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Изомор­физм на себя называется автоморфизмом. Множество всех автомор­физмов группы G обозначается Aut(G).

Группы G и H называются изоморфными, если между ними су­ществует изоморфизм. Обозначение: G = H. Неформально говоря, изоморфными называются группы, отличающиеся «переобозначени­ем элементов».

Задача 1. Докажите, что отношение «G = H » является отношением эквивалентности (формально говоря, это верно на любом множестве групп, но множества всех групп не существует).

Ш Наименее тривиальная часть задачи — проверка того, что если f — изоморфизм G на H, то f-1 —изоморфизм H на G.

Задача 2. Какие из следующих отображений являются гомоморфиз­мами? А какие — изоморфизмами?

а) Тождественное отображение произвольной группы;

б) отображение произвольной группы в единицу;

в) f : Z ^ Z, f (n) = 2n; г) f : Z ^ Z, f (n) = n + 1;

д)     f : Z ^ Z, f (n) = n2; е) f : Z/pZ ^ Z/pZ, f (n) = -n;

ж) f : (Z/pZ)x^ (Z/pZ)x, f (n) = n-1;

з) f : (Z/pZ)x^ (Z/pZ)x, f (n) = n10;

и) f : Sn ^ Sn, f (x) = ax; к) f : Sn ^ Sn, f (x) = x-1 ; л) f : Sn ^ Sn, f (x) = axa-1; м) sign : Sn ^ Z/2Z.

Решение. а), б), в) Являются гомоморфизмами. Изоморфизмом яв­ляется только гомоморфизм из пункта а), а также из пункта б) для единичной группы.

г) Не является гомоморфизмом: f (0) + f (0) = 2 = 1 = f (0 + 0).

д) Не является гомоморфизмом: f (1) + f (1) = 2 = 4 = f (1 +1).

е)  Является гомоморфизмом и даже изоморфизмом: равенство -(а + b) = (-а) + (-b) выполняется для целых чисел, а значит оста­ется верным и при приведение по модулю p.