Таблицы Брадиса

§)(х) = gx (левый сдвиг); б) I^)(х) = g—х;

§)(х) = gx (левый сдвиг); б) I^)(х) = g—х;

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

а) I(§)(х) = gx (левый сдвиг); б) I^)(х) = g—х;

в) I^)(х) = xg (правый сдвиг); г) I^)(х) = xg—;

д)     I(я)(х) = gxg~1 (действие сопряжениями).

Ответ. Отображения а), г) и д) являются действиями всегда, б) и

в) — только для коммутативной группы.

Ш Для произвольной группы О отображения б) и в) являются дей­ствиями группы Оор, совпадающей как множество с О, но имеющей другое умножение: х хО„Р у = у хОх. Такие отображения называют иногда правыми действиями (а то, что называлось у нас просто дей­ствиями, —левыми действиями).

Указание. Удобнее проверять аксиомы из «альтернативного опреде­ления».

Задача 24 (теорема Кэли). Докажите, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы Бп.

Указание. Рассмотрите действие группы на себе.

Решение. Рассмотрим действие группы О на себе левыми сдвигами. Это некоторый гомоморфизм р: О — 5|С|. Осталось проверить, что у него тривиальное ядро. Но Кег р = ^ е О | Ук е Оgk = к} = {е}.

Задача 25. Перечислите все действия:

а) группы 2 на множестве из двух элементов (одного элемента);

б) группы 2/п2 на множестве из двух элементов (одного элемен­та);

в) группы 2/п2 на множестве из трех элементов;

г) группы 2/22 на группе 2 (на группе 2/42), такие что каждое преобразование I ^) является изоморфизмом;

242                         Теория групп 2. Гомоморфизмы

д)     группы Ж/пЖ на множестве вершин квадрата, такие что каждое преобразование / ^) является поворотом.

Указание. По определению любая задача о перечислении действий группы О сводится к задаче о нахождении гомоморфизмов из О (в некоторую группу). Но, так как нас интересует только случай циклической группы О, полный ответ дает задача 7.