Таблицы Брадиса

Кроме того, из предыдущей задачи

Кроме того, из предыдущей задачи

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

А2)                   А2)                       Г123Л                    (123)

четная. I 12 I —четная, I 21 I —нечетная. ( 13^ —нечетная, ( 213 I —

123                    123                        123

нечетная, ( 2311 —четная, ( 321 I —нечетная, (31^ —четная.

Задача 2. Пусть а и Ь — подстановки на множестве из четырех эле­ментов, а = (1, 2,3,4), Ь = (1,4,3). Какие из следующих подстановок четны, а какие нечетны:

а) е; б) а; в) Ь; г) Ь2 = Ь ■ Ь; д) Ь3 = Ь ■ Ь ■ Ь; е) аЬ; ж) Ьа?

1234                                  1234

Ответ. а) Четная; б) а = I 2341) —нечетная; в) Ь = I 4213) —четная;

г)   Ь2 = 6241)—четная; д) Ь3 = С234)—четная; е) аЬ = (1234)—

нечетная; ж) Ьа = ^2234) —нечетная.

Задача 3. Докажите, что а) при умножении на транспозицию (справа или слева) четность меняется; б) четность произведения к транспо­зиций равна четности числа к.

Полезно, перед тем, как переходить к доказательству, разобрать несколько примеров.

Решение. а) Рассмотрим произвольную подстановку, записанную ка­нонически: ( 1 2 ' ' 'г ' ' '; ' '' п |. При умножении ее на транспозицию Уаа '' а1'' а]''' ап) ^                             ^

(1;) справа получается подстановка (а^ 'а а ст). Видно, что

число беспорядков в нижней строке не изменилось, а в верхней появилось 2(; — 1) — 1 беспорядков. Следовательно (в силу задачи 0), четность подстановки изменилась.

Полезное упражнение на понимание этого рассуждения — это яв­но повторить его для умножения слева.

б) Решение следует из предыдущей задачи.

Задача 4. а) Как выражается четность аЬ через четность а и чет­ность Ь?

б) Как выражается четность ап через четность а?

Решение. а) Из задачи 9 листка «Подстановки 1» мы знаем, что любую подстановку можно представить в виде произведения транспозиций. Кроме того, из предыдущей задачи мы знаем, что четность числа этих транспозиций будет равна четности подстановки. Поэтому, если а представима в виде произведения к транспозиций, а Ь представима в виде произведения I транспозиций, то аЬ будет представима в виде произведения к +1 транспозиций. Отсюда получаем правило: четно­сти подстановок при умножении складываются.