Таблицы Брадиса

Кто выигрывает при правильной игре?

Кто выигрывает при правильной игре?

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

+ Ъ0(У — У0) = 0 влечет

0 = а0к(х — х0) + Ъ0 к(у — у,) = (х — х0) + ^(к(у — У0) — 1(х — х0)).

Значит, х — х0 делится на Ъ0, и можно записать х — х0 = Ъ0t. Отсюда получаем, что а0Ъot + ^(у — у0) = 0, откуда у — у0 = —aot.

Задача 20. Решите уравнения:

а) 121х + 91 у = 1; б) —343х + 119у = 42; в) 111х — 740у = 11.

Решение. а) Найдем частное решение при помощи алгоритма Евкли­да (см. задачу 11): 30 = 121 — 91, 1 = 91 — 3 ■ 30 = 4 ■ 91 — 3 ■ 121, то есть (—3,4) —частное решение. Отсюда и из предыдущей задачи получаем, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид

х = —3 + 91^ у = 4 — 121^

б)  Аналогично предыдущему пункту воспользуемся алгоритмом Евклида: 105 = 343 - 2 • 119, 14 = 119 - 105 = 3 • 119 - 343, 7 =

= 105-7-14 = 8-343-23-119. Получили, что НОД(343,119) = 7 =                               -ф-

= 8 • 343 — 23 • 119. При этом в качестве частного решения можно взять х = —8 ■ 6 = —48, у = —23 ■ 6 = —138 и 343 = 49 ■ 7, 119 = 17 ■ 7.

Следовательно, в силу задачи 19 общий вид решения этого уравнения имеет вид

х = —48 + т, у = —138 + 49^

в)  Поскольку левая часть уравнения делится на 37, а правая не делится, уравнение не имеет решения.

Задача 21*. Есть шоколадка в форме равностороннего треугольни­ка со стороной п, разделенная бороздками на равносторонние тре­угольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломить от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок — треуголь­ник со стороной 1, — победитель. Тот, кто не может сделать ход, досрочно проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение (дается по книге: Р. М. Федоров и др., Московские математи­ческие олимпиады 1993-1995 г., МЦНМО, 2006). После первого хода всегда образуется равнобедренная трапеция. Посмотрим, какие фигу­ры могут образоваться на последующих ходах при правильной игре.