Таблицы Брадиса

Метод математической индукции

Метод математической индукции

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

г)  Неверно. Например, такая подстановка непредставима: 231 (докажите это).

Метод математической индукции

листок 4 / октябрь 20 04

Ш Часто при попытке доказать утверждение для всех натуральных чисел появляются рассуждения, содержащие слова «и так далее». Формализовать такие рассуждения, а также отделить верные рас­суждения такого вида от неверных позволяет метод математической индукции. При решении задач этого листка важно научиться приме­нять этот метод и понять несколько тонких мест, возникающих при его применении. Несколько таких мест обсуждаются в задаче 7.

Только достаточно освоившись с использованием индукции, стоит вернуться к доказательству самого утверждения метода математи­ческой индукции. Отметим, что довольно часто сам этот принцип принимается без доказательства, как аксиома. Мы предпочитаем пользоваться аксиомой существования наименьшего элемента не столько потому, что она кажется интуитивно более очевидной, но, скорее, чтобы продемонстрировать еще один метод доказательства (по сути, впрочем, аналогичный индукции) — метод наименьшего контрпримера.

Соглашение. В этом листочке буквами т, п и к обозначены нату­ральные числа.

Аксиома наименьшего элемента. Каждое непустое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент, т. е. эле­мент, который меньше любого другого элемента этого подмножества.

Задача 1. а) Останется ли предыдущее утверждение верным, если «множество натуральных чисел» заменить на «множество целых чи­сел»?

б)  Останется ли предыдущее утверждение верным, если «наи­меньший элемент» заменить на «наибольший элемент»?