Таблицы Брадиса

Найдите ошибку в следующих доказательствах.

Найдите ошибку в следующих доказательствах.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

1 + 2 + ... + (п + 1) = (1 + ... + п) + (п + 1) = ('1 + 1)(('^+1) + 1). (1)

Действительно, по предположению индукции

1 + ... + п = ±(5±11.                                   (2)

Постараемся получить из этого равенства равенство (1). Прибавим к обеим частям (2) число п +1. Имеем

Її I \ с і і л п(п + 1) . , | ч п(п +1) + 2(п + 1) 1 + ... + п+(гс + 1) = —- + (п + 1) = —                                   

(п + 1)(п + 2)  (п + 1)((п + 1) +1)

2

1(1 -1 + 1) (2 -1 + 1)

6 '

б)  База индукции. 1 =

ттт                     тт                            1 I         I 2 п(п + 1)(2п +1)

Шаг индукции. Предположим, что 1 + ... + п = —-------------- ^

Тогда

1 + ... + (п + 1)2 = 1 + ... + п+(п + 1)2= 11(11+ 1)А(2,1 +13+ (п + 1)2 =

_ (п + 1)(п + 2)(2п + 3^ (п + 1)((п + 1) + 1)(2(п + 1) +1)

6

в) Доказывается аналогичной проверкой.

 

Задача 7. Найдите ошибку в следующих доказательствах.

а) Докажем, что п > п + 1.

Действительно, пусть это утверждение верно для п, то есть п > п +1. Прибавив к обеим частям равенства единицу, мы получаем, что (п +1) > (п +1) +1, то есть верно утверждение для п + 1.

б)  Докажем, что в произвольном стаде из N коров все коровы одного цвета.

База индукции. В любом стаде из одной коровы все коровы, оче­видно, одного цвета.

Шаг индукции. Предположим, что в любом стаде из N коров все коровы одного цвета. Докажем, что в любом стаде из N + 1 коровы все коровы одного цвета.

Рассмотрим произвольное стадо из N + 1 коровы. Возьмем в нем произвольную корову А. Оставшиеся N коров одного цвета. Теперь возьмем другую корову В. Оставшиеся N коров также одного цвета. В частности, А одного цвета со всеми коровами, кроме А и В, и В одного (того же!) цвета со всеми коровами, кроме А и В (см. рисунок). Значит, А, В, и вообще все коровы в стаде одного цвета.