Таблицы Брадиса

Например, в группе Б3 выполнено

Например, в группе Б3 выполнено

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

г) Нет, не верно. Это множество не обязательно будет замкнуто относительно операции. Пример — объединение множеств четных чисел и чисел, делящихся на 3, являющихся подгруппами Z.

д) Да, верно. Если два множества замкнуты относительно опера­ции и взятия обратного элемента, то и их пересечение обязано быть замкнутым. В самом деле, пусть В и С — произвольные подгруппы

произвольной группы А. Тогда, если х, у е В п С, то х * у е В, х * у е С, х—1 е В и х—1 е С, то есть х * у е В п С и х—1 е В п С.

Задача 7. Верно ли, что:

а) N — подгруппа Ж;

б) Ап — подгруппа Бп, где Ап — множество четных подстановок на множестве из п элементов;

в) Бп \ Ап — подгруппа Бп ?

Решение. а) Нет, не верно: N не замкнуто относительно взятия обрат­ного.

б)  Верно. Это следует из того, что произведение двух четных под­становок — четная, и обратная к четной — также четная.

в) Неверно. В этом множестве даже не лежит единица группы. Но даже добавив к Бп \ Ап тождественную подстановку е, мы не получили бы подгруппу, поскольку полученное множество не замкнуто отно­сительно операции. Например, в группе Б3 выполнено (12)(2 3) = = (2 3 1), но подстановки (1 2) и (2 3) лежат в Б3 \ А3 и е, а (2 3 1) там не лежит.

Задача 8. Перечислите все подгруппы: а) Б3; б) Ж.

Указание. При перечислении подгрупп может помочь простая идея: если О — подгруппа Н и а е О, то Уп ап е О.

Решение. а) В группе Б3 всего 6 элементов. Заметим сперва, что если в какой-то подгруппе Б3 есть и транспозиция, и цикл длины 3, то эта подгруппа совпадает со всей Б3, поскольку любой элемент Б3 можно получить, перемножая транспозицию и цикл длины 3.

Осталось заметить, что если в подгруппе лежат только циклы, и нет ни одной транспозиции, то она совпадает с А3, а если нет циклов — то в этой подгруппе ровно два элемента, один из кото­рых— тождественная подстановка, другой — транспозиция (так как подгруппа, содержащая две транспозиции, совпадает с Б3). Итак, по­лучаем всего 6 подгрупп Б3: единичная подгруппа, три подгруппы, соответствующие транспозициям, подгруппа А3 и сама Б3.