Таблицы Брадиса

Не следует путать фактор с

Не следует путать фактор с

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Задача 15. а) Докажите, что школьное правило

четное + четное = нечетное + нечетное = четное, четное + нечетное = нечетное + четное = нечетное

задает структуру группы на множестве {{2n | n є Z}, {2n +11 n є Z}}.

б)  Докажите, что аналогичное правило задает структуру группы на множестве {An, Sn\An}.

Определение 3. Напомним, что левым смежным классом элемента g группы G относительно подгруппы H называется множество gH. Мно­жество всех левых смежных классов обозначают G/H.

Множество правых смежных классов группы G относительно под­группы H (множеств вида Hg) обозначают H\G. (Не следует путать фактор с разностью множеств.)

Определение 4. Подгруппа H группы G называется нормальной, ес­ли для любого элемента a е G выполнено aH = Ha (или, что то же самое, aHa-1 = H). Обозначение: H< G).

Задача 16. Докажите, что любая подгруппа коммутативной группы нормальна.

Задача 17. Какие из подгрупп задачи 12 листка «Теория групп 1» нор­мальны?

Задача 18. Докажите, что подгруппа H группы G нормальна тогда и только тогда, когда разбиение группы G на левые смежные классы относительно группы H совпадает с разбиением на правые смежные классы.

Задача 19. Перечислите все нормальные подгруппы группы S3.

Задача 20. Докажите, что любая подгруппа H группы G, для которой 2|H| = |G|, нормальна.

Задача 21. Назовем произведением левых смежных классов aH и bH класс (ab)H.

а)  Докажите, что это определение корректно тогда и только тогда, когда подгруппа H нормальна.

б)  Докажите, что в этом случае множество левых смежных классов образует группу относительно введенной операции.

Определение 5. Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Груп­па, построенная в предыдущей задаче, называется факторгруппой (группы G по подгруппе H). Обозначение: G/H.