Таблицы Брадиса

Непустое подмножество Н группы О,

Непустое подмножество Н группы О,

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

н) (г/пг, -п), где а -пЪ — остаток от деления числа аЪ на число п; о) (М, ■), где а ■ Ъ = аЪ; п) (г/пг\ {0}, -п);

р) ((г/пг)х, -п), где (г/пг)х = {а ег/пг | нод(а, п) = 1}?

о

Определение 3. Группа О называется коммутативной (или абеле­вой), если для любых а, Ъ е О выполнено аЪ = Ъа.

Задача 2. Какие из групп задачи 1 коммутативны?

Задача 3. Докажите, что:

а)  единица единственна; б) обратный элемент единственен;

в)  Ъа = е ^ Ъ = а-1; г) Ъа = а ^ Ъ = е; д) (а-1)-1 = а.

Задача 4*. Докажите, что если в определении 2 свойства существо­вания единицы и существования обратного заменить на свойства: 1°) Зе е О У а е О: еа = а (левая единица);

2°) У а За-1: а-1 а = е (левый обратный), то получится определение группы, эквивалентное определению 2.

Определение 4. Отображение /: О ^ Н из группы О в группу Н называется изоморфизмом, если оно взаимно однозначно и сохра­няет операцию, то есть Ух, у е О /(х * у) = /(х) * /(у). Если такое отображение существует, то группы О и Н называются изоморфными.

Задача 5. Выпишите все попарно неизоморфные группы из: а) 1, 2,3;

б)  4; в*) 13 элементов.

Определение 5. Непустое подмножество Н группы О, замкнутое от­носительно операций ■ и взятия обратного элемента, называется подгруппой.

Задача 6. Верно ли, что:

а)  если Н — подгруппа О, то е е Н;

б)  если Н — подгруппа О, то Н — группа;

в)  если К — подгруппа Н, а Н — подгруппа О, то К — подгруппа О;

г)  объединение двух подгрупп — подгруппа;

д)  пересечение двух подгрупп — подгруппа?

Задача 7. Верно ли, что:

а)  М — подгруппа г;

б)  Ап — подгруппа Бп, где Ап — множество четных подстановок на множестве из п элементов;

в)  Бп \ Ап — подгруппа Бп?