Таблицы Брадиса

Но в последнем случае 2п

Но в последнем случае 2п

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

Ш Суть происходящего заключается в следующем. Для любого коль­ца R можно рассмотреть группу обратимых элементов (по умноже­нию) Rx; это некоторая коммутативная группа. В аддитивной записи наше уравнение принимает вид 2x = 0, x е (Z/nZ)x. Найти число решений такого уравнения в любом кольце вида ф; (Z/a;Z) несложно (обозначим его за Na___А; тогда Na___А = П Na., а Nn есть 1 для n нечетного и 2 для четного — проверьте!), вопрос в том, как предста­вить (Z/nZ)x в таком виде.

Согласно китайской теореме об остатках (Z/nmZ)x = (Z/nZ)x ® ® (Z/mZ)x, поэтому достаточно изучить (Z/pnZ)x. Ответ в этом случае такой:

 

z/( p -1) pn,

p > 2;

(Z/pny = -

Z/2 Ф Z/2n-2,

2,

II

p

 

0,

2,

II

p

 

Доказывать его можно индукцией по n.

Целые числа 4. Практические задачи

листок її / март 2005

& Листок состоит из несложных упражнений на целые числа.

Все числа в этом листке предполагаются целыми.

Задача 1. Верно ли, что для любого п > 1 выполняется:

а) п3 + 5п. 6; б) 2п3 + 3п2 + 7п. 6; в) п5 — п. 30; г) 22п — 1.6; д) 116п+3 +1 . 148?

Решение. а) Верно. п3 + 5п. 6, так как

п3 + 5п = п3 — п + 6п = п ■ (п — 1) ■ (п + 1) + 6п.

А среди трех последовательных натуральных чисел (п — 1, п, п + 1) обязательно есть хотя бы одно четное и ровно одно, делящееся на три (докажите это в качестве простого, но полезного упражне­ния). Значит, по основной теореме арифметики все произведение п ■ (п — 1) ■ (п + 1) делится на 2 ■ 3 = 6.

б)  Верно.

2п3 + 3п2 + 7п = п ■ (2п2 + 3п +1) + 6п = п ■ (п + 1) ■ (2п + 1) + 6п.

Либо п, либо п + 1 делится на 2. Кроме того, или п. 3, или п + 1. 3, или п имеет вид п = 3к + 1, где к — целое число. Но в последнем случае 2п +1 = 6к + 3. 3. Значит, и все выражение делится на 3. Опять применяем основную теорему арифметики и получаем, что исходное выражение должно делиться нацело на 6.