Таблицы Брадиса

Нужно доказать два утверждения У

Нужно доказать два утверждения У

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

а) единица единственна; б) обратный элемент единственен; ф           в) Ъа = е => Ь = а 1; г) Ъа = а => Ь = е; д) (а-1)-1 =а.                                                                                                        —

Решение. а) Докажем от противного. Предположим, что существует две единицы е и в'. Тогда по определению единицы, е = ее' = е', следо­вательно, е = е.

б)  Опять предположим, что для данного а существуют два таких элемента Ь и с, что Ьа = са = аЬ = ас = е. Умножим равенство аЬ = ас слева на Ь. Получим, что Ь = ЬаЬ = Ьас = с, то есть Ь = с.

в) Здесь нужно доказать, что также и аЬ = е. Умножим равенство Ьа = е справа на Ь, а слева на Ь—Ч Получим, что аЬ = Ь—1 ЬаЬ = Ь—1Ь = е.

г) Умножив обе части равенства Ьа = а на а—1 справа, получим, что Ь = Ьаа—1 = аа—1 = е.

д) Так как аа—1 = е, согласно пункту в) а = а—1.

Задача 4*. Докажите, что если в определении 2 свойства существо­вания единицы и существования обратного заменить на свойства 1°) Зе еО Уа еО: еа = а (левая единица);

2°) У а За—1: а—1а = е (левый обратный), то получится определение группы, эквивалентное определению 2.

Решение. Нужно доказать два утверждения: У а е О ае = а и У а е О аа—1 = е. Докажем сначала первое. Запишем равенство (а—1а)е =

= ее = е = а—1а и умножим его на (а—х)—1 слева: (а—х)—1а—1(ае) = = (а—1)—1 а—1а. Обозначим (а—1)—1 а—1 за Ь, тогда последнее равенство примет вид Ьае = Ьа. Домножая его слева на Ь—1, получаем ае = а.

Теперь докажем, что аа—1 = е. Умножим равенство а—1аа—1 = еа = = а—1 слева на (а—1)—1, получим, что (а—1)—1а—1аа—1 = (а—1)—1а—1. До­множая обе части слева на обратное к (а—1)—1а—1, получаем аа—1 = е, что и требовалось доказать.

Ш Аналогично доказывается, что в определении группы достаточ­но требовать существование правой единицы и правого обратного. Однако из существования только левой единицы и правого обратного не следует выполнение аксиом группы: контрпример дает произволь­ное множество с операцией а * Ь = Ь.