Таблицы Брадиса

Об этом речь пойдет дальше.

Об этом речь пойдет дальше.

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

154                  Целые числа 1 Делимость целых чисел

и)  аЬ = сй и а. с ^ Зк є Z: а = ск ^ скЬ = сй. Так как с = 0, на с можно разделить обе части. Получим кЬ = й, что и требовалось дока­зать.

Задача 3. Верно ли, что для любых а, Ь, с, й:

а) если Ь | а и с/Ь, то с | а;

б) если Ь | а и с | а, то Ьс | а;

в) если с | аЬ, то с | а или с | Ь?

Ответ. а) Нет. Например, если а = 6, Ь = 2, с = 5.

б)  Нет. Например, если а = 30, Ь = 10, с = 15. Суть заключается в том, что в произведении Ьс простых сомножителей (с учетом повто­рений) больше, чем в числе а. Это достигается за счет того, что Ь и с содержат «повторяющийся» сомножитель 5. Заметим, что если бы Ь и с были бы взаимно простыми, то утверждение было бы верным. Об этом речь пойдет дальше.

в)  Нет. Например, если а = 10, Ь = 15, с = 6. Здесь мы играем на том, что число с получается перемножением всех простых делителей числа аЬ, которые делят либо только а либо только Ь. Как мы увидим позднее (см. задачу 15 из листка «Целые числа 2»), для простых с это утверждение верно.

Задача 4. Сформулируйте признаки делимости (натурального чис­ла): а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 5; д) на 9; е) на 11.

Ответ. а) Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 (то есть четная).

б)  Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

в) Число делится на 4, если число, составленное из двух последних его цифр, делится на 4.

г) Число делится на 5, если его последняя цифра — 5 или 0.

д) Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

е) Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на четных ме­стах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, по модулю 11.

Решение. Докажем сначала признаки делимости на 2 и на 5. Любое число может быть записано в виде 10к +1, где к — какое-то целое число, а I удовлетворяет условиям 0 ^ I < 10. Если у нас имеется десятичная запись числа, то его последняя цифра и есть то самое I (например, 2547 = 254 ■ 10 + 7). Теперь видно, что утверждения при­знаков делимости на 2 и на 5 элементарно следуют из задачи 2. Аналогично доказывается и признак делимости на 4. Надо лишь «отбрасывать» не один, а два последних знака.