Таблицы Брадиса

Обязательно ли

Обязательно ли

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

ус( 71) • • • с( }п))

б)  Докажите, что если подстановка а задана в виде произведения независимых циклов а = (11 • • Лк) ■ (/1 • • • )1) ■ •• • , то Ь = (с(11) • • • с({к)) ■

■ (с(71). • • с(7)) ■• • •

Задача 11. Дайте определение степени подстановки ак для любого целого к.

Задача 12. Докажите, что для любых а, Ь е 5п и любых целых к и I вы­полняется следующее: а) а0 = е; а1 = а; ак+г = ака1; ак1 = (ак)1; б) если аЬ = Ьа, то (аЬ)к = акЬк.

Ж                            Задача 13. а) Докажите, что для любых а,Ь<ЕБп существуют и при                                       Ж

^                              том единственные х,у&Бп, такие что ах = Ъ, уа = Ъ. Обязательно ли                                       мУ

х = у ?

б)  Докажите, что для любых а, Ь, с е 5п

(а = Ь) ^ (ас = Ьс) ^ (са = сЬ).

Задача 14. Докажите, что для любой подстановки а е 5п существует натуральное к, такое что ак = е.

Определение 3. Наименьшее натуральное к, такое что для подста­новки а е 5п выполняется равенство ак = е, называется порядком подстановки а.

Задача 15. Пусть подстановка а представлена в виде произведения независимых циклов с1, • • • , сп. Докажите, что порядок подстановки а равен НОК(|с1|, • • • , |сп|) (где |с;| есть длина цикла с{).

Задача 16. Если к — порядок подстановки а, то ап = е тогда и только тогда, когда п делится на к.

С1 23ч 100                  С1 234ч 1000                  С1 2345ч -2007

Задача 17. Вычислите: а) О ;б) Ч23Э ; в)                                                                ;

г)    с 123454 500, _) с 1234564-127_ е) с 123456741001

г) ^45213у ; д) ^45263^ ; ^7651234^ '

Целые числа 1. Делимость целых чисел

листок 7 / декабрь 2004

Соглашение. Все числа в этом листке предполагаются целыми.