Таблицы Брадиса

Очевидно, что если брать делители

Очевидно, что если брать делители

Элементы математики в задачах - Г. А. Мерзон

и|1                                                    а — г1 а — г2

превосходит \Ъ\ — 1, а значит, гг = г2, откуда дх = —— = —— = д2, и

пары (д15 Г]_) и (д2, г2) на самом деле совпадают.

Задача 2. Найдите частное и остаток при делении: а) —17 на 4; б) 23 на —7; в) —1 на —5.

Ответ. а) д = —5, г = 3, так как —17 = 4 ■ (—5) + 3.

б)  д = —3, г = 2.

в) д = 1, г = 4.

Задача 3. Какие частные могут получиться при делении числа 59?

Ответ. 59, —59, 29, —29, 19, —19, 14, —14, 11, —11, 9, —9, 8, —8, 7, —7, 6, —6, 5, —5, 4, —4, 3, —3, 2, —2, 1, —1, 0.

Ответ получен путем перебора делителей от 1 до 60 с разными знаками. Очевидно, что если брать делители по модулю большие 60, то частное будет нулем.

Задача 4. Найдите частное и остаток при делении: а) п2 на п + 1;

б) п2 + п + 2 на п — 1; в) 2100 — 1 на 27 — 1; г*) 2т — 1 на 2п — 1.

Решение. а) п2 = (п — 1)(п + 1) + 1. Частное — (п — 1), остаток— 1.

б) В этой задаче речь идет о делении чисел, но решается она при помощи метода деления многочленов «столбиком»:

п2 + п + 2 п — 1

п2 п

2п + 2 2п — 2

благодаря которому находим следующее соотношение: п2 + п + 2 = ~0~     = {п — 1) (гг + 2) + 4. Поэтому при п > 5 и п < —4 остаток будет равен 4,

а частное — (п + 2). Случаи, когда п — 1 равно ±4, ±3, ±2, ±1 сле­дует рассмотреть отдельно (сделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

в) В этом пункте также следует применить деление «столбиком».

2—1

293 + 286 + 279 + 272 + ... + 22

293—1 293 — 286

286—1 286 279

279—1

279 272

 

29 — 1 29 22

22 1

   

 

 

 

 

 

 

164                     Целые числа 2. Алгоритм Евклида